Конспекты по математике Уравнение плоскости Аналитическая геометрия

Теорема 11.2 Всякое уравнение(11.3), в котором $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ , является уравнением плоскости, ортогональной вектору $ {\bf n}=(A,B,C)$ .

Доказательство. Условие $ \vert A\vert+\vert B\vert+\vert C\vert\ne0$ означает, что хотя бы одно из чисел $ A,\,B,\,C$ , отлично от нуля. Пусть это будет, например, число $ B$ . Преобразуем уравнение(11.3) следующим образом:

$\displaystyle A(x-0)+B\left(y-\left(-\frac DB\right)\right)-C(z-0)=0.$

По теореме 11.1 такое уравнение является уравнением плоскости с нормальным вектором n, проходящей через точку $ M_0\left(0;-\frac DB;
0\right)$ .

Теорема 11.1 позволяет написать уравнение плоскости, если известна точка этой плоскости и вектор, ортогональный плоскости. Однако, довольно часто встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна точка, лежащая на ней, и два неколлинеарных вектора, лежащих или, что то же самое, параллельных плоскости. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 11.1 Требуется написать уравнение плоскости, проходящей через точку $ M_0(1,2,-2)$ и параллельной векторам $ {\bf p}=(1;2;-1)$ и $ {\bf q}=(-2;0;3)$ .
Решение. Векторное произведение $ {\bf p}\times {\bf q}$ по определению 10.26 ортогонально векторам p и q. Следовательно, оно ортогонально искомой плоскости и вектор $ {{\bf n}={\bf p}\times {\bf q}}$ можно взять в качестве ее нормального вектора. Найдем координаты вектора n:
$\displaystyle {\bf n}={\bf p}\times {\bf q}=\left\vert\begin{array}{rrr}{\bf i}...
...j}&{\bf k}\\ 1&2&-1\\ -2&0&3\end{array}\right\vert=
6{\bf i}-{\bf j}+4{\bf k},$
то есть $ {\bf n}=(6;-1;4)$ . Используя формулу(11.1), получим
$\displaystyle 6(x-1)+(-1)(y-2)+4(z-(-2))=0.$
Раскрыв в этом уравнении скобки, приходим к окончательному ответу.
Ответ: $ 6x-y+4z+4=0$ .

 

Решение задач по математике