Конспекты по математике Замена переменного и преобразование базы при такой замене

Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить

$\displaystyle \lim_{x\to-\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin^2x+2\sin x+1}{\sin^2x-\sin x+2}.$

Тогда естественно с целью упрощения сделать замену $s=\sin x$ : при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид $f(s)=\dfrac{s^2+2s+1}{s^2-s+2}$ . Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо $x\to-\frac{\pi}{2}$ под знаком предела от функции ?

Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену $t={\varphi}(x)$ , при этом исходный предел вычислялся при базе $\mathcal{B}$ , состоящей из некоторых окончаний . Тогда база множеств, которым принадлежит параметр , будет состоять из образов окончаний при отображении их функцией ${\varphi}(x)$ : надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции ${\varphi}$ . Получится набор множеств ${\varphi}(\mathcal{B})=\{{\varphi}(E)\}=\mathcal{B}'$ , где множества ${\varphi}(E)$ состоят из всех таких точек , что $t={\varphi}(x)$ при некотором $x\in E$ .

Рис.2.12.Преобразование базы $x\to x_0$ под действием функции ${\varphi}(x)$

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Теорема 2.2 Пусть $\mathcal{B}$ -- некоторая база и ${\varphi}(x)$ -- некоторая функция, определённая на каком-нибудь окончании базы $\mathcal{B}$ . Тогда множество $\mathcal{B}'={\varphi}(\mathcal{B})$ -- это тоже база.

Доказательство. Во-первых, все множества $E'={\varphi}(E)$ не пусты, так как не пусты множества : если $x\in E$ , то содержит, по крайней мере, точку ${\varphi}(x)$ . Осталось показать, во-вторых, что если $E_1'={\varphi}(E_1)$ и $E_2'={\varphi}(E_2)$ (где $E_1,E_2\in\mathcal{B}$ )-- два множества из $\mathcal{B}'$ , то найдётся такое множество $E_3'={\varphi}(E_3)$ ( $E_3\in\mathcal{B}$ ), что $E_3'\sbs E_1'\cap E_2'$ . Множество $E_1'\cap E_2'={\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)$ , по определению, состоит из всех точек ${\varphi}(x)$ , где $x\in E_1$ и $x\in E_2$ одновременно, то есть $x\in E_1\cap E_2$ . Рассмотрим теперь некоторое окончание $E_3\sbs E_1\cap E_2$ (такое окончание найдётся, по определению базы $\mathcal{B}$ ) и соответствующее множество $E_3'={\varphi}(E_3)$ . Тогда все значения ${\varphi}(x)$ при $x\in E_3$ будут среди значений ${\varphi}(x)$ при $x\in E_2\cap E_3$ , то есть ${\varphi}(E_3)=E_3'\sbs{\varphi}(E_1)\cap{\varphi}(E_2)=E_1'\cap E_2'$ , что и требовалось показать.

Иногда получается, что если $\mathcal{B}$ -- одна из знакомых нам рассмотренных выше баз, то и ${\varphi}(\mathcal{B})=\mathcal{B}'$ -- это тоже база известного типа.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Ускорение численных расчетов и повышение их точности

Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.

Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения.
Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.
Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.
Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.
Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.
Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра