Конспекты по математике Пределы Бесконечно малые и локально ограниченные величины и их свойства Примеры

Пример 2.10 При базе $x\to+\infty$ рассмотрим две бесконечно малых величины: ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{x}$ и ${\beta}(x)=\dfrac{1}{x^2}$ . Вместе с ними и величина ${\gamma}(x)=\dfrac{1+x}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$ тоже является бесконечно малой при базе $x\to+\infty$ .
Докажем теперь, как следствие из предыдущей теоремы, утверждение о том, что бесконечно малой является сумма не только двух, но любого числа бесконечно малых величин.
Следствие 2.1 Пусть ${\alpha}_1(x),{\alpha}_2(x),\dots,{\alpha}_n(x)$ -- бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ , ${n\geqslant 2}$ . Тогда величина
$\displaystyle {\beta}_n(x)={\alpha}_1(x)+{\alpha}_2(x)+\ldots+{\alpha}_n(x)$
также является бесконечно малой при базе $\mathcal{B}$ .
Доказательство. Доказывать утверждение теоремы мы будем по индукции по числу слагаемых. Для двух слагаемых это утверждение верно по теореме 2.5. Пусть утверждение верно для слагаемых; это означает, что величина ${\beta}_{n-1}(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}(x)$ бесконечно мала. Покажем, что тогда оно верно и для слагаемых. По условию бесконечно мала также величина ${\alpha}_n(x)$ и, значит, по теореме 2.5 бесконечно мала сумма этих двух бесконечно малых ${{\beta}_{n-1}(x)+{\alpha}_n(x)={\alpha}_1(x)+\ldots+{\alpha}_{n-1}+{\alpha}_n(x)={\beta}_n(x)}$ . Тем самым шаг индукции сделан и утверждение доказано для произвольного числа слагаемых .

В дальнейшем нам часто будет нужно рассматривать функции, которые не превосходят некоторой постоянной на некотором окончании данной базы. Дадим им следующее название.

Определение 2.10 Функция называется локально ограниченной при базе $\mathcal{B}$ , если она определена на некотором окончании этой базы и существует такая постоянная , что $\vert f(x)\vert\leqslant K$ при всех $x\in E_0$ .

Рис.2.17.Локально ограниченная величина при базе $x\to x_0$

Пример 2.11 Любая постоянная величина локально ограничена при любой базе. Действительно, в качестве ограничивающей постоянной достаточно взять $K=\vert C\vert$ ; тогда условие $\vert C\vert=K\leqslant K$ верно для из любого окончания любой базы $\mathcal{B}$ .
Докажем следующее утверждение, имеющее вспомогательный характер для дальнейшего.

Предложение 2.1 Пусть при данной базе $\mathcal{B}$ две функции и являются локально ограниченными. Тогда и их произведение тоже локально ограничено при этой базе.
Доказательство. Из условия следует, что $\vert f(x)\vert\leqslant K_1$ при $x\in E_1$ и $\vert g(x)\vert\leqslant K_2$ при $x\in E_2$ , где -- некоторые постоянные и -- некоторые окончания базы $\mathcal{B}$ . Возьмём окончание $E_3\sbs E_1\cap E_2$ ; при $x\in E_3$ будут выполнены оба неравенства и, следовательно,
$\displaystyle \vert f(x)g(x)\vert=\vert f(x)\vert\,\vert g(x)\vert\leqslant K_1K_2.$
Это означает, что постоянная служит ограничивающей постоянной для произведения на окончании , то есть это произведение локально ограничено при базе $\mathcal{B}$ .

Локальная ограниченность функции не означает, что она ограничена на всей своей области определения. Например, функция локально ограничена при базе $x\to0$ , но не является ограниченной функцией при всех $x\in\mathbb{R}$ . Если в качестве базы рассматривается $x\to x_0$ , то локальная ограниченность функции при этой базе означает, что функция ограничена в некоторой, быть может, достаточно малой, окрестности точки.

Теорема 2.6 Пусть функция имеет предел при базе $\mathcal{B}$ . Тогда эта функция локально ограничена при этой базе.
Доказательство. Пусть $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ ; это означает, что при любом ${\varepsilon}>0$ (возьмём, например, ${\varepsilon}=1$ ) найдётся такое окончание базы $\mathcal{B}$ , что $\vert f(x)-L\vert<{\varepsilon}$ для любого $x\in E$ . Тем самым, при ${\varepsilon}=1$ выполнено двойное неравенство .
Выберем из двух чисел и число с большей абсолютной величиной и обозначим его : $K=\max\{\vert-1+L\vert,\vert 1+L\vert\}$ . Тогда, очевидно, из последнего неравенства следует, что $\vert f(x)\vert<K$ ; это означает, что функция локально ограничена.

В частности, локально ограничены при базе $\mathcal{B}$ все бесконечно малые при базе $\mathcal{B}$ , так как все они, по определению, имеют предел (равный 0).

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Ускорение численных расчетов и повышение их точности
Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.
Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения.
Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.
Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.
Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.
Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.
Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра