дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспекты по математике Пределы Общие свойства пределов

Замечание 2.3 Сделаем замечание, аналогичное замечанию 2.2: если существует предел произведения, то отсюда не следует, что существуют пределы каждого из сомножителей; доказанная теорема этого не утверждает. Приведём пример, который был уже разобран выше: функция $ f(x)=\dfrac{1}{x}\cdot\sin x$ при $ x\to\pm\infty$ имеет предел, равный 0, однако предела $ \sin x$ при $ x\to\pm\infty$ не существует (хотя другой множитель, $ \dfrac{1}{x}$, имеет предел при этой базе).
Так что из несуществования предела у какого-нибудь сомножителя не следует несуществование предела произведения.

Следствие 2.4 Пусть $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ и $ C=\mathrm{const}$ (то есть $ C$-- постоянная величина). Тогда существует предел функции $ Cf(x)$, равный $ CL$:
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}Cf(x)=CL.$

Доказательство. Для доказательства достаточно заметить, что, согласно примеру 2.4, $ \lim\limits_{\mathcal{B}}C=C$, и применить теорему 2.9.

Доказанное следствие означает, что постоянный множитель $ C$ можно выносить за знак предела, а также вносить под знак предела. Иными словами, умножение на постоянную и переход к пределу можно менять местами.

Следствие 2.5 Пусть функции $ f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x)$ имеют при базе $ \mathcal{B}$ пределы, равные соответственно $ L_1,L_2,\dots,L_n$, и $ C_1,C_2,\dots,C_n$-- постоянные. Тогда
$\displaystyle \lim\limits_{\mathcal{B}}(C_1f_1(x)+C_2f_2(x)+\ldots+C_nf_n(x))= C_1L_1+C_2L_2+\ldots+C_nL_n.$

Доказательство. Оно состоит в последовательном $ (n-1)$-кратном применении теоремы 2.8 к слагаемым $ C_kf_k(x)$, предел которых, согласно предыдущему следствию, равен $ C_kL_k$.

В качестве частного случая можно рассмотреть предел разности двух функций. Разность $ f(x)-g(x)$ можно представить в виде $ 1\cdot f(x)+(-1)\cdot g(x)$ и применить следствие 2.5 к этой сумме из двух слагаемых. Получим тогда, что

$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(f(x)-g(x))=\lim_{\mathcal{B}}f(x)-\lim_{\mathcal{B}}g(x),$

то есть что разность (как и сумма) сохраняется при переходе к пределу.

Замечание 2.4 Утверждение следствия 2.5, с алгебраической точки зрения, означает, что, во-первых, множество $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ всех функций, заданных на фиксированном окончании $ E$ базы $ \mathcal{B}$ и имеющих предел при базе $ \mathcal{B}$-- это линейное пространство, а во-вторых-- что операция взятия предела $ \lim\limits_{\mathcal{B}}$-- это линейное отображение линейного пространства $ \mathcal{L}_{\mathcal{B}}$ в линейное пространство вещественных чисел $ \mathbb{R}$. Попросту: переход к пределу сохраняет суммирование и умножение на постоянные.

Предел отношения двух функций $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$, в отличие от суммы, разности и произведения, не обязательно равен отношению пределов числителя $ f(x)$ и знаменателя $ g(x)$, даже если пределы $ \lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)$ существуют. Дело в том, что предел знаменателя может равняться нулю, и отношение пределов тогда не имеет смысла, в то время как предел отношения $ \lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ при этом вполне может существовать. Приведём такой простейший пример:

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Ускорение численных расчетов и повышение их точности

Большинство пользователей с трудом уловят разницу между версиями Mathematiea 3 и Mathematica 4. Именно поэтому основной материал данной книги полностью относится к этим двум последним версиям. Тем не менее, различия между версиями есть, и достаточно серьезные.

Пожалуй, главной отличительной особенностью системы Mathematica 4 стало кардинальное ускорение численных расчетов. Традиционно системы символьной математики проигрывали численным системам, таким как MATLAB. До сих пор скорость вычислений в системе MATLAB в 5-10 раз превышала скорость вычислений, производимых системами символьной математики. Поэтому в системе Mathematica 4 были предприняты необычные для систем символьной математики и даже беспрецедентные меры по ускорению численных расчетов. Они перечислены ниже:

  • Значительно ускорены все операции с матрицами, особенно большого размера. Примеры решения задач Площадь поверхности тела вращения Интегральное исчисление. Уравнение поверхности в пространстве Любое уравнение, связывающее координаты x, y, z любой точки поверхности является уравнением этой поверхности.
  • Существенно оптимизированы алгоритмы для выполнения вычислений с числами, содержащими вплоть до миллиона знаков. Найти площадь этого треугольника. Решение: Есть несколько способов найти площадь треугольника, мы воспользуемся способом, связанным с векторами, а именно – геометрическим смыслом векторного произведения.
  • Ускорен ввод и вывод очень больших целых чисел.
  • Полностью сохраняется точность при вводе и выводе приближенных действительных чисел.
  • Обеспечивается свертка и корреляция массивов любой размерности.
  • Применены новые оптимизированные алгоритмы для преобразований Фурье.
  • Ускорены процедуры численного решения полиномиальных уравнений.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра