Конспекты по математике Общие свойства пределов Примеры

Пример 2.15 Пусть , и взята база $\mathcal{B}=\{x\to0\}$ . Тогда, очевидно, $\lim\limits_{x\to0}f(x)=0$ , $\lim\limits_{x\to0}g(x)=0$ и отношение пределов $\dfrac{\lim\limits_{x\to0}f(x)}{\lim\limits_{x\to0}g(x)}$ не имеет смысла. При этом $\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{x^2}{x}=x$ при $x\ne0$ и предел отношения существует: $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\to0}x=0$ .
Оказывается, условия $\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)\ne0$ , которое обеспечивает то, что отношение пределов имеет смысл,-- этого условия достаточно для того, чтобы предел отношения двух функций был равен отношению их пределов. Ниже мы докажем соответствующую теорему, а пока докажем такое вспомогательное утверждение.

Лемма 2.1 Пусть при некоторой базе $\mathcal{B}$ существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L\ne0$ . Тогда функция $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена на некотором окончании этой базы и локально ограничена при этой базе.
Доказательство. Возьмём положительное число ${\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$ . По определению предела, в базе $\mathcal{B}$ найдётся такое окончание , что при всех $x\in E$ будет $\vert g(x)-L\vert<{\varepsilon}=\dfrac{\vert L\vert}{2}$ . Это неравенство можно привести к виду

$\displaystyle -\dfrac{\vert L\vert}{2}+L<g(x)<\dfrac{\vert L\vert}{2}+L.$

(2.2)

При это неравенство означает, что $\dfrac{L}{2}<g(x)<\dfrac{3L}{2}$ ; так как $\dfrac{L}{2}>0$ , то и при всех $x\in E$ и, следовательно, функция $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания и удовлетворяет неравенству
$\displaystyle 0<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<\dfrac{2}{L}.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
При неравенство (2.2) означает, что $-\dfrac{3\vert L\vert}{2}<g(x)<-\dfrac{\vert L\vert}{2}$ ; так как $-\dfrac{\vert L\vert}{2}<0$ , то и при всех $x\in E$ и, опять-таки, функция $h(x)=\dfrac{1}{g(x)}$ определена во всех точках окончания ; она удовлетворяет неравенству
$\displaystyle -\dfrac{2}{\vert L\vert}<h(x)=\dfrac{1}{g(x)}<0.$
В любом случае получаем, что функция определена во всех точках $x\in E$ и при этих удовлетворяет неравенству $\vert h(x)\vert<\dfrac{2}{\vert L\vert}$ , что означает локальную ограниченность функции при базе $\mathcal{B}$ .

На основе этой леммы мы докажем обещанное выше утверждение о пределе отношения.

Теорема 2.10 Пусть при одной и той же базе $\mathcal{B}$ существуют пределы ${\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L_1}$ и ${\lim\limits_{\mathcal{B}}g(x)=L_2}$ , причём ${L_2\ne0}$ . Тогда функция $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ определена на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ , существует предел $\lim\limits_{\mathcal{B}}h(x)=L$ , и $L=\dfrac{L_1}{L_2}$ , то есть предел отношения равен отношению пределов числителя и знаменателя.
Доказательство. Представим отношение $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ в виде $f(x)\cdot\dfrac{1}{g(x)}$ , в котором и первый, и второй множители определены на некотором окончании базы $\mathcal{B}$ (относительно второго множителя см.предыдущую лемму). Поэтому и исходное отношение имеет смысл при всех $x\in E$ .
Утверждение о том, что $\lim\limits_{\mathcal{B}}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L_1}{L_2}$ , эквивалентно тому, что разность ${{\alpha}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}-\dfrac{L_1}{L_2}}$ -- бесконечно малая величина. Приводя эту разность к общему знаменателю, получим, что ${\alpha}(x)=\dfrac{1}{L_2}\cdot\dfrac{1}{g(x)}\cdot(L_2f(x)-L_1g(x))$ . Величина $\dfrac{1}{L_2}$ -- постоянная и, следовательно (см.пример 2.11), локально ограничена; функция $\dfrac{1}{g(x)}$ -- тоже локально ограничена при базе $\mathcal{B}$ (по предыдущей лемме). Значит, с учётом предложения 2.1 и теоремы 2.7, будет доказано, что величина ${\alpha}(x)$ бесконечно малая, если мы покажем, что бесконечно мала при базе $\mathcal{B}$ величина . Найдём предел этой величины. По свойству линейности предела ( следствие 2.5)
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}(L_2f(x)-L_1g(x))=L_2\lim_{\mathcal{B}}f(x)-L_1\lim_{\mathcal{B}}g(x)= L_2L_1-L_1L_2=0.$
Это означает, что величина бесконечно мала.

Замечание 2.5 Как и в случае пределов суммы и произведения, можно сделать замечание (аналогичное замечаниям 2.2 и 2.3): если существует предел отношения, то пределы числителя и знаменателя, вообще говоря, существовать не обязаны. Приведите сами пример, иллюстрирующий это утверждение.