Конспекты по математике Общие свойства пределов Упражнение

Упражнение 2.5 Найдите пределы:
$\displaystyle L_1=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^3-8x+3}{x^3-2x^2};$
$\displaystyle L_2=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{-2x+3\sin 5x}{2x+\cos(x^2)};$
$\displaystyle L_3=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{3x^3+1}}{\sqrt{2x^3-1}}.$
Ответ: ; ; $L_3=\sqrt{\frac{3}{2}}$ .
Указания: поделите числитель и знаменатель дроби в первом примере на , во втором-- на и в третьем-- на $\sqrt{x^3}$ . Во втором примере воспользуйтесь тем, что $3\sin 5x$ и $\cos(x^2)$ -- величины, ограниченные при всех (и, следовательно, локально ограниченные при любой базе).

Теорема 2.11 (теорема "о двух милиционерах") Пусть даны три функции , и ${\varphi}(x)$ , при всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ связанные неравенством
$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x).$
Пусть функции и имеют общий предел при базе $\mathcal{B}$ :
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}f_1(x)=\lim_{\mathcal{B}}f_2(x)=L.$
Тогда функция ${\varphi}(x)$ также имеет предел при базе $\mathcal{B}$ , равный тому же числу :
$\displaystyle \lim_{\mathcal{B}}{\varphi}(x)=L.$
Доказательство. Согласно определению предела, для любого ${\varepsilon}>0$ найдутся такие окончания базы и , что при $x\in E_1$ выполняется неравенство
$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L<{\varepsilon},$
а при $x\in E_2$ -- неравенство
$\displaystyle -{\varepsilon}<f_2(x)-L<{\varepsilon}.$
Значит, для окончания $E\sbs E_0\cap E_1\cap E_2$ при всех $x\in E$ выполняются неравенства
$\displaystyle -{\varepsilon}<f_1(x)-L\leqslant {\varphi}(x)-L\leqslant f_2(x)-L<{\varepsilon},$
то есть
$\displaystyle -{\varepsilon}<{\varphi}(x)-L<{\varepsilon}.$
Это означает, что предел величины ${\varphi}(x)$ равен .

Рис.2.21.Два милиционера и и пьяный ${\varphi}$ движутся в участок

(Происхождение названия теоремы таково: пусть график функции -- это траектория движения первого милиционера в участок, график -- второго милиционера туда же, а график $y={\varphi}(x)$ -- траектория движения нетрезвого гражданина, находящегося, в соответствии с неравенством
$\displaystyle f_1(x)\leqslant {\varphi}(x)\leqslant f_2(x),$
в любой момент между двумя милиционерами. Тогда и этот гражданин неизбежно придёт туда же, в участок .)

Теорема 2.12 (теорема о пределе неотрицательной величины) Пусть $f(x)\geqslant 0$ при всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ и существует $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ . Тогда $L\geqslant 0$ . Иными словами, при переходе к пределу знак нестрогого неравенства сохраняется.
Доказательство. Если бы предел был отрицательным, то можно было бы взять ${\varepsilon}=-\frac{L}{2}>0$ и найти такое окончание базы , что при $x\in E_1$ выполняется неравенство $-{\varepsilon}=\frac{L}{2}<f(x)-L<{\varepsilon}=-\frac{L}{2}$ , откуда $\frac{3L}{2}<f(x)<\frac{L}{2}<0$ . Это же будет выполнено на некотором окончании $E_2\sbs E\cap E_1$ , что противоречит предположению, что $f(x)\geqslant 0$ при всех $x\in E$ . Противоречие доказывает, что отрицательным предел быть не может, то есть $L\geqslant 0$ .

Следствие 2.6 Пусть $f(x)\leqslant 0$ при всех из некоторого окончания базы $\mathcal{B}$ и существует $\lim\limits_{\mathcal{B}}f(x)=L$ . Тогда $L\leqslant 0$ .
Доказательство. Для доказательства достаточно взять функцию $f_1(x)=-f(x)\geqslant 0$ , применить к ней доказанную только что теорему и воспользоваться тем, что знак минус можно вынести за знак предела (по свойству линейности предела).