дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Лекции по математике Первый и второй замечательные пределы

        Теорема 2.15   Второй замечательный предел существует. Его значение $ e$ -- число, лежащее между $ 2\frac{3}{7}$ и $ 3$
Более подробное изучение числа $ e$ показывает, что $ e$ -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:
$\displaystyle e=2{,}7182818285{\dots}\quad.$
Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.
        Лемма 2.2   Пусть $ a,b\in\mathbb{R}$ и $ n$ -- натуральное число. Тогда имеет место формула
\begin{multline} (a+b)^n=\\ {=}a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{1\cdot2}a^{n-2}b^... ...-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)n} b^n. \end{multline}
Заметим, что в дроби
$\displaystyle \frac{n(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot(n-1)n}, $
очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный $ n$, в третьем справа слагаемом -- равный $ \dfrac{n(n-1)}{1\cdot2}$, и т. д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.
        Доказательство.     Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру $ n$. При $ n=1$ формула 2.2, очевидно, верна:
$\displaystyle (a+b)^1=a+b.$
(Заметим, что при $ n=2$ и $ n=3$ формула 2.2 также хорошо известна:
$\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
и
$\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3b^2a+b^3.)$
Предположим, что она верна для $ n=k$, и докажем, что тогда она верна и при $ n=k+1$. Действительно,
\begin{multline*} (a+b)^{k+1}=(a+b)^k\cdot(a+b)=(a+b)^ka+(a+b)^kb=\\ =a^{k+1}... ...c{k(k-1)}{1\cdot2}\right] a^{k-2}b^3+\ldots+(k+1)ab^k+b^{k+1}. \end{multline*}
При этом в квадратных скобках получается:
$\displaystyle \frac{k(k-1)}{1\cdot2}+ k=k\left(\frac{k-2}{2}+1\right)=\frac{(k+1)k}{1\cdot2};$   
$\displaystyle \frac{k(k-1)(k-2)}{1\cdot2\cdot3}+ \frac{k(k-1)}{1\cdot2}=\frac{k(k-1)}{1\cdot2}\cdot\left(\frac{k-2}{3}+1\right)=$   
$\displaystyle =\frac{k(k-1)}{1\cdot2}\cdot\frac{k+1}{3}=\frac{(k+1)k(k-1)}{1\cdot2\cdot3}$   

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при $ n=k+1$.     
        Доказательство теоремы 2.15.     Рассмотрим последовательность $ {y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}$ и применим к $ y_n$ формулу бинома Ньютона при $ a=1$ и $ b=\frac{1}{n}$. Получим
\begin{multline} y_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\ =1{+}n\cdot\frac{1}{n}{... ...cdot\frac{n-(n-1)}{n}\cdot \frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}. \end{multline}
Покажем, что последовательность $ y_n$ ограничена сверху. Для этого заменим все дроби $ \frac{n-1}{n}$, $ \frac{n-2}{n}$, ..., $ \frac{n-(n-1)}{n}$ на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы (Доказательство теоремы 2.15) увеличится:
$\displaystyle y_n<2+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{1\cdot2\cdot3}+\ldots+ \frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}.$
Далее, заменим все числа $ 3,\dots,n$ в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:
$\displaystyle y_n<2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}.$
В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна
$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=1-\frac{1}{2^{n-1}}.$
Поэтому
$\displaystyle y_n<2+1-\frac{1}{2^{n-1}}<3,$
что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3.
Покажем теперь, что последовательность $ y_n$ не убывает. Действительно, запишем формулу (Доказательство теоремы 2.15) в виде
\begin{multline} y_n=2+\left(1-\frac{1}{n}\right)\cdot\frac{1}{1\cdot2}+ \left... ...-\frac{n-1}{n}\right) \cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n}. \end{multline}
В аналогичной формуле, написанной для $ n+1$ вместо $ n$, во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое
$\displaystyle \left(1-\frac{1}{n+1}\right) \left(1-\frac{2}{n+1}\right)\ldots ... ...eft(1-\frac{n}{n+1}\right) \cdot\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\cdot(n+1)}.$
Следовательно, при росте номера $ n$ члены последовательности $ y_n$ строго возрастают: $ y_{n+1}>y_n$ при всех $ n\in\mathbb{N}$.
Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности $ y_n$ теорему о пределе монотонной ограниченной функции ( теорема 2.13) и получим, что существует предел
$\displaystyle e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,$
причём число $ e$ не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что $ y_4=(1+\frac{1}{4})^4=2\frac{113}{256}=2\frac{339}{768}>2\frac{3}{7}$. Так как все последующие члены $ y_n$ ещё больше, то и предел $ e$, на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве ( следствие 2.7), не меньше числа $ 2\frac{113}{256}>2\frac{3}{7}$, что и завершает доказательство теоремы.     
        Замечание 2.7   Можно также показать, что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e,$(2.5)

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.
В формуле (2.5) можно сделать замену $ {\alpha}=\frac{1}{x}$, при этом база $ x\to+\infty$ перейдёт в базу $ {\alpha}\to0+$, и мы получим
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0+}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Установка систем и их особенности

Инсталляция систем Mathematica 3

Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой).

Примеры решения задач Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра