дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Лекции по математике Первый и второй замечательные пределы

 
        Упражнение 2.6   Покажите, что имеют место также равенства
$\displaystyle \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0-}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
На этой основе, применяя теоремы о связи двусторонних пределов с односторонними, покажите, что
$\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$
и
$\displaystyle \lim_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}=e.$
    
Формулы в этих замечании и упражнении представляют собою другую форму записи второго замечательного предела. Мы сохраним название второй замечательный предел за всеми этими формулами.
        Пример 2.22   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x$.
Здесь параметр $ t\in\mathbb{R}$ -- фиксированное число. При вычислении предела он будет рассматриваться как постоянная. Сделаем замену $ {\alpha}=\frac{t}{x}$, тогда $ {\alpha}\xrightarrow {x\to\infty}0$ и $ x=\frac{t}{{\alpha}}$. Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{t}{x})^x= \lim_{{\alpha}\to0}(1... ...t t}= \left(\lim_{{\alpha}\to0}(1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}\right)^t=e^t.$
(Здесь мы воспользовались, пока на интуитивном уровне, тем, что степенная функция непрерывна, то есть что $ \lim\limits_{z\to z_0}z^t=z_0^t$. Более подробно понятие непрерывности функций мы будем изучать ниже, в разделе Использование непрерывности функций при вычислении пределов.) Полученная формула даёт нам возможность выразить экспоненциальную функцию $ e^t$ как некоторый предел.     
С помощью похожей замены вычисляются пределы функций вида $ u(x)^{v(x)}$ в случае, когда основание степени $ u(x)$ при некоторой базе стремится к 1, а показатель степени $ v(x)$ -- к бесконечности (то есть является бесконечно большой функцией при данной базе; о бесконечно больших см. ниже, в разделе Бесконечно большие величины и бесконечные пределы). Такие выражения, а также и связанные с ними пределы, называются неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. О неопределённостях других видов пойдёт речь ниже, после примера 2.29.
Обратим внимание читателя, что $ [1^{\infty}]$ -- это лишь условная запись: 1 здесь указывает, что основание степени стремится к 1 (и вовсе не обязательно равно 1); в "показателе степени" стоит вообще не число, а символ бесконечности. Поэтому было бы грубой ошибкой, встретив такую условную запись (или написав её), сделать вывод о том, что единица, мол, в любой степени даёт единицу, и поэтому ответ равен единице. С условными символами в этой записи нельзя действовать так же, как с числами. Предыдущий пример, в котором основание степени $ 1+\frac{t}{x}$ стремится к 1, а показатель степени $ x$ к $ \infty$, даёт как раз неопределённость вида $ [1^{\infty}]$. Однако значение предела равно $ e^t$, а этот результат может быть любым положительным числом, в зависимости от того, какое значение $ t$ взято.
Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида $ [1^{\infty}]$.
        Пример 2.23
  Найдём предел $ \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}$.
Здесь основание степени имеет предел
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x+3}= \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}= \dfrac{1+0}{1+0}=1,$
а показатель степени $ 2x+1\xrightarrow {x\to\infty}\infty$. Поэтому можно применять тот же приём сведения ко второму замечательному пределу, что в предыдущем примере. Для начала найдём, что следует взять за бесконечно малую величину $ {\alpha}$. Поскольку основание степени стремится к 1, то оно равно $ 1+{\alpha}$, где $ {\alpha}\to0$ (см.  теорему 2.4). Значит,
$\displaystyle {\alpha}=\dfrac{x+1}{x+3}-1=\dfrac{x+1-x-3}{x+3}=\dfrac{-2}{x+3}.$
Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}= \l... ...1+\dfrac{-2}{x+3}\right)^{\frac{x+3}{-2}}\right] ^{\frac{-2}{x+3}\cdot(2x+1)}.$
Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид $ (1+{\alpha})^{\frac{1}{{\alpha}}}$ и при $ {\alpha}\to0$ стремится к числу $ e$ (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:
$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{-2(2x+1)}{x+3}= -2\lim_{x\to\infty}\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{3}{x}}=-2\cdot\frac{2+0}{1+0}=-4.$
Поэтому
$\displaystyle \lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{2x+1}=e^{-4}= \dfrac{1}{e^4}.$
(Мы воспользовались тем, что если $ \lim\limits_{\mathcal{B}}u(x)=A>0$ и $ \lim\limits_{\mathcal{B}}v(x)=B$, то $ \lim\limits_{\mathcal{B}}(u(x))^{v(x)}=A^B$. Это следует из непрерывности показательной и логарифмической функций, если учесть, что $ u^v=e^{v\ln u}$.)     
        Замечание 2.8   Не любые пределы величин вида $ u(x)^{v(x)}$ вычисляются с помощью сведения ко второму замечательному пределу. Ещё раз напомним, что так надо поступать лишь в случае, когда основание степени $ u(x)$ при данной базе стремится к 1, а показатель степени $ v(x)$ -- к бесконечности. В иных ситуациях можно бывает для вычисления предела обойтись более простыми рассуждениями. Например, при нахождении предела
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x+1}\right)^x$
можно заметить, что основание степени стремится к $ \frac{1}{2}$, так что получается формально $ [(\frac{1}{2})^{+\infty}]$. Это выражение не является неопределённостью (в отличие от выражения $ [1^{\infty}]$), так как основание степени при достаточно больших $ x$ близко к $ \frac{1}{2}$ (и заведомо меньше, скажем, $ \frac{2}{3}$) и при возведении в неограниченно увеличивающуюся степень $ x$ будет меньше $ (\frac{2}{3})^x$ и, следовательно, будет стремиться к 0. Так что
$\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(\dfrac{x+1}{2x+1}\right)^x=0$
и прибегать к помощи второго замечательного предела не пришлось.     
   

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Установка систем и их особенности

Инсталляция систем Mathematica 3

Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой).

Примеры решения задач Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра