дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Лекции по математике Использование непрерывности функций при вычислении пределов


        Пример 2.29   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$.
Поскольку функция $ f(x)=\dfrac{x^2+\cos x}{\sin x+2e^x}$ -- элементарная, причём $ x_0=0$ -- точка её области определения (так как $ \sin0+2e^0=2\ne0$), то для нахождения предела достаточно воспользоваться равенством (2.6) и подставить вместо $ x$ предельное значение 0:
$\displaystyle \lim\limits_{x\to0}f(x)=\dfrac{0^2+\cos 0}{\sin 0+2e^0}=\frac{1}{2}.$
    
Прямую подстановку использовать нельзя в тех случаях, когда мы не можем вычислить значение элементарной функции, стоящей под знаком предела, в данной предельной точке $ x_0$. В этом случае говорят, что задающее функцию выражение, а также и сам предел представляют собой неопределённость. Выше мы уже встречались с неопределённостями вида $ [1^{\infty}]$. Бывают ещё неопределённости вида $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$, $ [\infty-\infty]$, $ [\infty\cdot0]$ и других видов, заданные выражениями, не имеющими формального смысла. С символами в этих выражениях нельзя обращаться, как с числами в обычных дробях, разностях, произведениях и т. д. В частности, "дроби" $ [\frac{0}{0}]$, $ [\frac{\infty}{\infty}]$ вовсе не всегда означают пределы, значение которых равно единице. Например, $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{2x}{x}=[\frac{0}{0}]=2$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x}=[\frac{0}{0}]=0$; $ \lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^3}{2x^3}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{1}{2}$, а $ \lim\limits_{x\to0}\dfrac{\mathop{\rm ctg}\nolimits 2x}{\mathop{\rm ctg}\nolimits 5x}=[\frac{\infty}{\infty}]=\frac{5}{2}.$ (Вычислите все эти пределы в качестве упражнения.) "Разности" вида $ [\infty-\infty]$ отнюдь не всегда обозначают неопределённости, которые после раскрытия предела дадут 0. Например, $ \lim\limits_{x\to+\infty}(\sqrt{x-1}-\sqrt{x-3})=[\infty-\infty]=0$ (здесь на самом деле получается 0), а $ \lim\limits_{x\to\infty}(\sqrt{x^2-2x+3}-\sqrt{x^2-3x+2})=[\infty-\infty]= \frac{1}{2}$.
Так что получается, что вся теория вычисления (нетривиальных) пределов -- это изучение способов раскрытия неопределённостей.
Во многих случаях, чтобы раскрыть неопределённость, достаточно каким-либо образом преобразовать стоящую под знаком предела функцию, после чего нахождение предела сводится к применению общих теорем (о пределе суммы, произведения, частного и т. п.), а также теорем о первом и втором замечательных пределах. Многие такие примеры мы разбирали выше. А вот ещё один типичный пример.
        Пример 2.30   Найдём предел $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}$.
Данный предел представляет собой неопределённость, так как при $ x=2$ как числитель, так и знаменатель обращаются в 0 (это неопределённость вида $ \left[\frac{0}{0}\right]$). Так что просто подставить 2 вместо $ x$ в исходную дробь нельзя. Однако если разложить числитель и знаменатель на множители (для чего найдём корни числителя: $ x=1$ и $ x=2$ -- и знаменателя: $ x=2$ и $ x=4$), получим $ x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ и $ x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, и видно, что дробь (при $ x\ne2$) можно упростить, сократив на $ (x-2)$. Поскольку при $ x\to2$ мы считаем, что $ x\ne2$, то
$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}.$
В последнем пределе дробь $ \dfrac{x-1}{x-4}$ непрерывна при $ x=2$, так как точка 2 входит в область определения этой элементарной функции. Поэтому $ \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x-1}{x-4}=\dfrac{2-1}{2-4}=-\dfrac{1}{2}$ и, следовательно,
$\displaystyle \lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-6x+8}=-\dfrac{1}{2}.$
    
        Упражнение 2.7   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to1}\dfrac{x^2-5x+4}{x^2-4x+3}$. (При этом числитель и знаменатель можно сократить на $ (x-1)$. Ответ: $ \dfrac{3}{2}$.)     
        Упражнение 2.8   Найдите предел $ \lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{\sin^22x}{\sin4x}$. (При этом знаменатель можно представить в виде $ 2\sin2x\cos2x$, а затем сократить дробь на $ \sin2x$. Ответ: 0.)     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Установка систем и их особенности

Инсталляция систем Mathematica 3

Объем инсталляционных файлов Mathematica 3 и 4 превышает 100 Мбайт. Поэтому поставляются системы на CD-ROM, а компьютер, на который они устанавливаются, должен иметь устройство чтения CD-ROM. Возможна и установка систем из локальной сети, но для большинства пользователей систем эта возможность существенного интереса не представляет и потому здесь не описывается. Кроме того, мы ограничимся описанием инсталляции систем, рассчитанных на работу в среде операционных систем Windows 95/98/NT. Элементы математической логики  Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Предел последовательности Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…)

Для установки системы Mathematica 3, по существу, нужен современный мультимедийный компьютер, оснащенный современной видеокартой, звуковой картой (совместимой с Sound Blaster фирмы Creative Labs), микрофоном и акустическими системами. ПК должен иметь процессор Pentium и емкость ОЗУ не менее 16 Мбайт (желательно даже 24 Мбайт и более). Минимальный объем файловой системы Mathematica 3/4 составляет 40 Мбайт, максимальный — 156 Мбайт (версии для Windows 95/98/NT с полной справочной системой).

Примеры решения задач Функции нескольких переменных Интегральное исчисление.

Для инсталляции системы нужно прежде всего проверить соответствие аппаратных возможностей ПК требуемым. Только после этого можно начать инсталляцию запуском файла setup.exe (установка) с инсталляционного CD-ROM (часто это делается автоматически, если ПК настроен на самозапуск CD-ROM). Процесс инсталляции показан на рис. 1.10 на примере системы Mathematica 3.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра