Пределы Таблица эквивалентных бесконечно малых Лекции по математике

Пример 2.37 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{5x}-e^{2x}}{\sin7x-\sin3x}$ . Для этого в числителе вынесем за скобку $e^{2x}$ , а к знаменателю применим формулу ${\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos\dfrac{{\alpha}+{\beta}}{2}\sin\dfrac{{\alpha}-{\beta}}{2}}$ , где ${\alpha}=7x$ , ${\beta}=3x$ . Получим

Мы заменили на эквивалентную величину (учтя при этом, что $3x\to0$ при $x\to0$ ), $\sin2x$ на эквивалентную величину (учтя, что $2x\to0$ при $x\to0$ ), затем сократили числитель и знаменатель на и, наконец, воспользовались тем, что функции $e^{2x}$ и $\cos5x$ непрерывны и что и $\cos0=1$ .

Пример 2.38 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}.$
Заменим в числителе $\sin^23x$ на эквивалентную величину , а знаменатель ${1-\cos x^2}$ -- на эквивалентную величину $\dfrac{(x^2)^2}{2}$ . После этого можно будет сократить дробь на и получить ответ:

$\displaystyle \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\sin^23x}{1-\cos x^2}= \lim_{x\to0}\dfrac{x^2\cdot(3x)^2}{\dfrac{(x^2)^2}{2}}= \lim_{x\to0}\dfrac{9x^4}{\dfrac{x^4}{2}}=18.$
Ещё раз обратим внимание читателя, что все формулы таблицы эквивалентных бесконечно малых относятся к базе $x\to0$ . Следовательно, те же эквивалентности имеют место и при односторонних базах $x\to0+$ и $x\to0-$ . Если же рассматриваемый пример содержит неопределённость вида $\left[\dfrac{0}{0}\right]$ при какой-либо другой базе, то часто предел можно свести к пределу при "стандартной" базе $x\to0$ (или $x\to0+$ , или $x\to0-$ ) с помощью подходящей замены переменной, а затем воспользоваться табличными эквивалентностями.

Пример 2.39 Вычислим предел $\lim\limits_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}$ .
Если сделать замену $t=x-\pi$ , то при $x\to\pi$ новая переменная будет, очевидно, стремиться к 0, то есть база $x\to\pi$ перейдёт при такой замене в "стандартную" базу $t\to0$ . Подставляя $x=t+\pi$ и учитывая формулу приведения для косинуса, получаем:

$\displaystyle \lim_{x\to\pi}\dfrac{1+\cos x}{(x-\pi)^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{1+... ...0}\dfrac{1-\cos t}{t^2}= \lim_{t\to0}\dfrac{\dfrac{t^2}{2}}{t^2}=\dfrac{1}{2}.$
Мы применили табличную формулу $1-\cos t\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\to0}}\dfrac{t^2}{2}$ , а затем сократили дробь на и получили ответ.
Применяя формулы таблицы эквивалентностей бесконечно малых последовательно, мы можем получать (и использовать для вычисления пределов) цепочки эквивалентностей произвольной длины.

Пример 2.40 Можно, например, получить следующую формулу:

$\begin{multline*} e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\lim... ...p{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{(\sqrt{x})^2}{2}= \dfrac{x}{2}. \end{multline*}$

Здесь мы последовательно воспользовались формулами

$\displaystyle e^{\alpha}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\alpha}\to0}}{\alpha}... ...1-\cos{\delta}\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{{\delta}\to0}}\frac{{\delta}^2}{2}$
и учли, что величины ${\alpha}=\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$ , ${\beta}=\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}$ , ${\gamma}=\cos\sqrt{x}-1$ , ${\delta}=\sqrt{x}$ являются бесконечно малыми при $x\to0+$ .
Используя полученную в результате эквивалентность

$\displaystyle e^{\sin^2\sqrt{-\ln\cos\sqrt{x}}}-1\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\to0+}}\dfrac{x}{2},$
мы можем, например, вычислить предел

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник
Математические системы

В 80-е годы возможностями символьной математики увлекся защитивший докторскую диссертацию Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) из США (рис. 1.1). Его интересы были столь серьезны, что он основал фирму Wolfram Research, Inc., приступившую к созданию проекта престижной математической системы Mathematica. Математика примеры решения задач математический анализ Версия Mathematica 1.0 этой системы, появившаяся в 1988 г., уже устарела, и самой известной разработкой фирмы стала версия 2.0 системы Mathematica 2, появившаяся в 1991 г. и благополучно дожившая до наших дней. У нас она впервые стала известна благодаря обзорам Примеры решения задач Определенный интеграл Интегральное исчисление. Задания для подготовки к практическому занятию Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Цели нового проекта были достаточно амбициозными — разработка мощного и универсального ядра системы (Kernel), способного работать на различных компьютерных платформах, создание многофункционального языка программирования, ориентированного на математические приложения, подготовка современного пользовательского интерфейса и обширного набора прикладных пакетов и расширений системы (Packages), мощного языка программирования математических преобразований и вычислений. Система приобрела свойства адаптации и обучения новым математическим законам и закономерностям.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра

Лекции по математике Пределы Таблица эквивалентных бесконечно малых