Лекции по математике Прямая в пространстве Аналитическая геометрия


Замечание 11.3 Если в качестве параметра $ t$ взять время, то точка $ M$ будет двигаться по прямой со скоростью $ \vert{\bf p}\vert$ , причем в момент времент $ {t=0}$ ее положение совпадает с точкой $ M_0$ . Вектор скорости точки совпадает с вектором p.

От векторного соотношения(11.12) перейдем к соотношениям координат. Так как $ (x;y;z)$ -- координаты точки $ M$ , то $ {{\bf r}=(x;y;z)}$ , $ {{\bf r}_0=(x_0;y_0;z_0)}$ , $ {t{\bf p}=(tk;tl;tm)}$ . Из формулы(11.12) получим

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x=kt+x_0,\\ y=lt+y_0,\\ z=mt+z_0.\end{array}\right.$(11.13)

Полученная система уравнений называется параметрическими уравнениями прямой.

Обратим внимание на то, что по параметрическим уравнениям легко установить направляющий вектор прямой и координаты одной из ее точек. Коэффициенты перед параметром $ t$ дают координаты направляющего вектора, а свободные члены в правой части-- координаты точки на прямой.

Так как направляющий вектор прямой определяется с точностью до умножения на число, отличное от нуля, а в качестве точки $ M_0$ можно взять любую точку прямой, то одна и та же прямая может задаваться бесконечным множеством систем параметрических уравнений. Причем разные системы могут быть не похожими друг на друга.

Из уравнений(11.13) выразим параметр $ t$ :

$\displaystyle t=\frac{x-x_0}k,\quad t=\frac{y-y_0}l,\quad t=\frac{z-z_0}m.$

Так как во всех трех соотношениях параметр $ t$ имеет одно и то же значение, то

$\displaystyle \frac{x-x_0}k=\frac{y-y_0}l=\frac{z-z_0}m.$(11.14)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Замечание 11.4 В канонических уравнениях прямой допускается в знаменателе писать 0. Это не означает, что можно выполнить деление на 0. Просто из канонических уравнений мы получаем информацию о том, что направляющий вектор прямой имеет координаты $ k,\,l,\,m$ , из которых одна нулевая.

Пример 11.3 Прямая с каноническими уравнениями
$\displaystyle \frac{x-2}1=\frac{y-2}2=\frac{z+5}0$
имеет направляющий вектор $ {\bf p}=(1;2;0)$ .

Замечание 11.5 Канонические уравнения прямой(11.14) нельзя рассматривать как одно уравнение (в них два знака "=" и следовательно, два уравнения). Они составляют своеобразным способом записанную систему из двух уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l} l(x-x_0)=k(y-y_0),\\ m(x-x_0)=k(z-z_0).\end{array}\right.$
Возможны, впрочем, еще две записи системы, подумайте какие.

Решение задач по математике