Лекции по математике Основные задачи на прямую и плоскость Аналитическая геометрия


Следующие две задачи связаны с нахождением угла.

1. Даны уравнения двух прямых. Требуется найти угол между этими прямыми.

Угол $ {\varphi}$ между прямыми-- это угол $ \psi$ между их направляющими векторами, если направляющие векторы образуют острый угол $ (\cos\psi>0)$ , или $ {\varphi}=\pi-\psi$ , если $ \psi$ -- тупой угол $ (\cos\psi<0)$ . Во втором случае $ {\cos{\varphi}=-\cos\psi=\vert\cos\psi\vert}$ .

Для решения задачи достаточно найти направляющие векторы $ {\bf p}_1$ и $ {\bf p}_2$ прямых. Тогда

$\displaystyle \cos\psi=\frac{{\bf p}_1{\bf p}_2}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert},$

а искомый угол $ {\varphi}$ определяется из равенства

$\displaystyle \cos{\varphi}=\frac{\vert{\bf p}_1{\bf p}_2\vert}{\vert{\bf p}_1\vert\cdot\vert{\bf p}_2\vert}.$

2. Даны уравнение плоскости $ \Pi$ и уравнения прямой $ {\gamma}$ . Требуется найти угол $ {\varphi}$ между прямой и плоскостью.

По определению, угол между прямой и плоскостью-- это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость (рис. 11.12).




Рис.11.12.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


Пусть $ \psi$ -- угол между нормальным вектором n плоскости $ \Pi$ и направляющим вектором p прямой $ {\gamma}$ . Тогда либо $ {{\varphi}=\frac{\pi}2
-\psi}$ (рис. 11.12), либо $ {{\varphi}=\psi-\frac{\pi}2}$ (рис. 11.13).




Рис.11.13.$ {\varphi}$ -- угол между прямой и плоскостью


В обоих случаях $ \sin{\varphi}=\vert\cos\psi\vert$ , а так как $ \cos\psi=\frac{{\bf n}{\bf p}}
{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}$ , то

$\displaystyle \sin{\varphi}=\frac{\vert{\bf n}{\bf p}\vert}{\vert{\bf n}\vert\cdot\vert{\bf p}\vert}.$

 

Решение задач по математике