дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Лекции по математике Эллипс Кривые и поверхности второго порядка

 

        Определение 12.3   Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек той же плоскости, назывемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.         

Для эллипса можно дать еще несколько эквивалентных определений. Желающие могут познакомиться с ними в более серьезных учебниках по аналитической геометрии. Здесь же отметим только то, что эллипс -- это кривая, получающаяся как проекция на плоскость $ \Pi$ окружности, лежащей в плоскости, которая образует острый угол с плоскостью $ \Pi$ .

В отличие от окружности, записать в "удобном" виде уравнение эллипса в произвольной системе координат не удается. Поэтому для фиксированного эллипса приходится подбирать систему координат так, чтобы его уравнение было достаточно простым.

Пусть $ F_1$ и $ F_2$ -- фокусы эллипса. Начало $ O$ системы координат расположим на середине отрезка $ F_1F_2$ . Ось $ Ox$ направим вдоль этого отрезка, ось $ Oy$  -- перпендикулярно к этому отрезку (рис. 12.3).

        Теорема 12.2   Пусть сумма расстояний от точки эллипса до фокусов равна $ 2a$ , а расстояние между фокусами -- $ 2c$ . Тогда в выбранной системе координат эллипс имеет уравнение
$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$(12.4)
 

где
$\displaystyle b=\sqrt{a^2-c^2}.$(12.5)
 

        Доказательство.     Пусть $ M(x;y)$  -- текущая точка эллипса. По определению эллипса $ {F_1M+F_2M=2a}$ . Из треугольника $ F_1MF_2$ (рис. 12.3) видно, что $ F_1M+F_2M>F_1F_2$ , то есть $ 2a>2c$ , $ a>c$ , и поэтому число $ {b=\sqrt{a^2- c^2}}$ существует.

Рис.12.3.


Фокусами в выбранной системе координат являются точки $ F_1(-c;0)$ , $ F_2(c;0)$ . По формуле (10.4) для плоского случая находим

$\displaystyle F_1M=\sqrt{(x+c)^2+(y-0)^2}=\sqrt{(x+c)^2+y^2},\quad FM_2=\sqrt{(x-c)^2+y^2}.$

Тогда по определению эллипсаbn $\displaystyle \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a.$

Пренесем один из корней вправо и обе части возведем в квадрат:

$\displaystyle (x+c)^2+y^2=4a^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}+(x-c)^2+y^2.$

После того, как раскроем скобки и приведем подобные члены, приходим к выражению

$\displaystyle 4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}=4a^2-4xc.$

Разделим обе части этого уравнения на 4 и возведем в квадрат

$\displaystyle a^2(x^2-2xc+c^2+y^2)=a^4-2a^2xc+x^2c^2.$

Раскроем скобку и приведем подобные члены

$\displaystyle x^2(a^2-c^2)+a^2y^2=a^2(a^2-c^2).$

Учитывая, что $ b^2=a^2-c^2$ , имеем равенство

$\displaystyle x^2b^2+y^2a^2=a^2b^2.$

Наконец, разделив обе части на $ a^2b^2$ , получим уравнение (12.4).     

Уравнение (12.4) называется каноническим уравнением эллипса.

Прежде, чем нарисовать эллипс, выясним некоторые его свойства.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Математические системы

В 80-е годы возможностями символьной математики увлекся защитивший докторскую диссертацию Стивен Вольфрам (Stephen Wolfram) из США (рис. 1.1). Его интересы были столь серьезны, что он основал фирму Wolfram Research, Inc., приступившую к созданию проекта престижной математической системы Mathematica. Математика примеры решения задач математический анализ Версия Mathematica 1.0 этой системы, появившаяся в 1988 г., уже устарела, и самой известной разработкой фирмы стала версия 2.0 системы Mathematica 2, появившаяся в 1991 г. и благополучно дожившая до наших дней. У нас она впервые стала известна благодаря обзорам Примеры решения задач Определенный интеграл Интегральное исчисление. Задания для подготовки к практическому занятию Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Цели нового проекта были достаточно амбициозными — разработка мощного и универсального ядра системы (Kernel), способного работать на различных компьютерных платформах, создание многофункционального языка программирования, ориентированного на математические приложения, подготовка современного пользовательского интерфейса и обширного набора прикладных пакетов и расширений системы (Packages), мощного языка программирования математических преобразований и вычислений. Система приобрела свойства адаптации и обучения новым математическим законам и закономерностям.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра