дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Производная Лекции и задачи

Теорема 4.1 Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема (дифференцируема слева, дифференцируема справа) в точке $ x_0$. Тогда $ f(x)$ непрерывна (соотв. непрерывна слева, непрерывна справа) в этой точке $ x_0$.

Доказательство. Из существования производной

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

следует, что

\begin{multline*} \lim_{x\to x_0}(f(x)-f(x_0))= \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)-f(x... ...ac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\lim_{x\to x_0}(x-x_0)= f'(x_0)\cdot0=0, \end{multline*}

откуда

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0),$

что и означает непрерывность функции $ f(x)$ в точке $ x_0$.

Для доказательства теоремы в случае существования односторонних производных достаточно сменить базу $ x\to x_0$ на базу $ x\to x_0-$ или $ x\to x_0+$.

Замечание 4.2 Предыдущий пример показывает, что обратное утверждение неверно: функция не обязательно имеет производную во всех тех точках, где она непрерывна. Действительно, функция $ f(x)=\vert x\vert$ непрерывна при $ x=0$, но не имеет производной в точке 0.
Более того, можно построить пример такой функции, которая непрерывна во всех точках числовой прямой, но не имеет производной ни в одной из этих точек.
Замечание 4.3 Заметим, что доказанная теорема гарантирует непрерывность функции, имеющей производную в точке $ x_0$, только в этой самой точке $ x_0$, но не на некотором интервале, окружающем $ x_0$. Примером функции, имеющей производную при $ x=0$, но разрывной при всех $ x\ne0$, служит функция
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x\in\mathbb{Q},\\ x^2,&\mbox{ если }x\notin\mathbb{Q}. \end{array}\right. $
(Напомним, что через $ \mathbb{Q}$ обозначается множество всех рациональных чисел. Рациональные числа, как и иррациональные, плотно расположены на числовой оси $ \mathbb{R}$: между любыми двумя рациональными числами найдётся иррациональное число, а между двумя иррациональными-- рациональное.) Действительно, $ f(0)=0$; если $ h\ne0$-- рациональное число, то разностное отношение $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{0-0}{h}=0$, а если $ h\ne0$-- иррациональное, то $ \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}=\dfrac{h^2-0}{h}=h$. И в том, и в другом случае разностное отношение стремится к 0 при $ h\to0$, так что существует производная $ f'(0)=0$. Однако, как нетрудно заметить, функция $ f(x)$ разрывна во всех точках $ x$, кроме $ x=0$.

Замечание 4.4 Заметим также, что даже если функция имеет производную на некотором интервале, окружающем точку $ x_0$, значение $ f'(x_0)$ может оказаться не равным пределу значений $ f'(x)$ при $ x\to x_0$, то есть производная $ f'$ может оказаться разрывной функцией. Примером такой функции с всюду существующей, но разрывной производной $ f'(x)$ может служить функция
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ x^2\sin\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $
Производная этой функции, как мы покажем ниже, равна
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ если }x=0,\\ 2x\sin\dfrac{1}{x}-\cos\dfrac{1}{x},&\mbox{ если }x\ne0. \end{array}\right. $
Нетрудно видеть, что эта функция имеет разрыв второго рода в точке 0, из-за слагаемого $ \cos\dfrac{1}{x}$, совершающего бесконечное число колебаний амплитуды 1 в любой, как угодно малой, окрестности точки 0.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

В наши дни многие уже путают компьютерную математику как науку о математических вычислениях и преобразованиях с помощью компьютеров с СКМ Маthematica, созданной фирмой Wolfram Research, Inc. Хотя это и знаменательно само по себе, во избежание такой путаницы мы начнем наш курс с рассказа о том, как зародилась компьютерная математика и как были созданы программные системы компьютерной математики различных классов. Здесь мы также опишем отражение системы Mathematica в мировой сети Интернет. Примеры решения задач Вычисление определенного интеграла Интегральное исчисление. Уравнение линии на плоскости Как известно, любая точка на плоскости определяется двумя координатами в какой- либо системе координат. Системы координат могут быть различными в зависимости от выбора базиса и начала координат. Векторы Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Для многих неискушенных в математике пользователей не совсем понятно, что делают СКМ, особенно те из них, которые выполняют символьные операции. Поэтому в этом уроке мы впервые познакомимся с особенностями различных систем и оценим их возможности, так сказать, в первом приближении. Некоторые из приведенных примеров лучше повторить в дальнейшем — после изучения основ работы с системой Mathematica. Впрочем, нетерпеливые учащиеся могут попробовать сделать это немедленно! Однако, чтобы запустить систему Mathematica 3 или 4 и начать работу с ней, надо вначале установить систему на жесткий диск вашего ПК. Об этом пойдет речь в конце данного урока.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра