Математика лекции Разложение вектора по базису Векторная алгебра

Рассмотрим пример на нахождение координат вектора.

Задача. Даны векторы $ {\overrightarrow {OA}={\bf a}}$ , $ {\overrightarrow {OB}={\bf b}}$ . Вектор $ {\overrightarrow {OC}={\bf c}}$ -- медиана треугольника $ OAB$ . Найдите координаты вектора a в базисе b, c.

Решение. Сначала рассмотрим геометрическое решение (рис. 10.13).




Рис.10.13.Геометрическое разложение вектора


Проведем через конец вектора a прямую параллельно вектору b до пересечения с продолжением вектора c. Получим точку пересечения $ D$ . Легко видеть, что $ {\overrightarrow {OD}=2{\bf c}}$ , $ {\overrightarrow {AD}={\bf b}}$ . Проведем через точку $ A$ прямую параллельно вектору c до пересечения с продолжением вектора b. Получим точку $ F$ . Очевидно, что $ {\vert OF\vert=\vert AD\vert}$ , то есть $ {\overrightarrow {OF}=-{\bf b}}$ . Таким образом, $ {\bf a}=\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {OF}=2{\bf c}+(-{\bf b})=(-1){\bf b}+2{\bf c}$ . Получим $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .

Аналитическое решение. Получим какое-нибудь уравнение, связывающее векторы a, b, c. Для этого достроим треугольник $ OAB$ до параллелограмма (рис. 10.14).




Рис.10.14.


Тогда $ \overrightarrow {OD}=2{\bf c}$ , $ \overrightarrow {OD}={\bf a}+{\bf b}$ . Получим равенство $ {2{\bf c}={\bf a}+{\bf b}}$ . Откуда $ {{\bf a}=-{\bf b}+2{\bf c}}$ , то есть $ {{\bf a}=(-1;2)}$ .
Ответ:$ {\bf a}=(-1;2)$

Решение задач по математике