Конспект лекций по математике Матрицы Символ суммирования Замечание

  Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,
$\displaystyle \sum_{i=1}^3i^2=\sum_{j=1}^3j^2=\sum_{{\alpha}=1}^3{\alpha}^2=1+4+9=14.$
Или
$\displaystyle \sum_{i=1}^n a_{ij}=a_{1j}+a_{2j}+\ldots+a_{nj},$
в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.
        Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:
$\displaystyle \sum_{k=1}^n{\alpha}a_k={\alpha}\sum_{k=1}^na_k.$

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.
        Предложение 14.2

$\displaystyle \sum_{k=1}^n(a_k+b_k)=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=1}^nb_k.$

(14.3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.
Предложение 14.3

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right)=\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^n a_{ik}\right).$

(14.4)

        Доказательство.     Пусть
$\displaystyle S=\sum_{k=1}^n\left(\sum_{i=1}^ma_{ik}\right).$
Тогда
$\begin{multline*} S=\left(\sum_{i=1}^ma_{i1}\right)+\left(\sum_{i=1}^ma_{i2}\ri... ...{22}+\ldots+a_{m2})+\ldots+\\ +(a_{1n}+a_{2n}+\ldots+a_{mn}). \end{multline*}$

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов $a_{ik}$ при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим
$\begin{multline*} S=(a_{11}+a_{12}+\ldots+a_{1n})+(a_{21}+a_{22}+\ldots+a_{2n})... ...k=1}^na_{mk}=\\ =\sum_{i=1}^m\left(\sum_{k=1}^na_{ik}\right). \end{multline*}$

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

        Замечание 14.2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\sum_{i=1}^ma_{ik}.$

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов $a_{ik}$ для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.
Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида
$\displaystyle \sum_{i,j,k=1}^n a_{ijk}.$
Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись
$\displaystyle \sum_{\genfrac{}{}{0 pt}{1}{i,j=1}{i\ne j}}^n a_{ij}$
означает, что в сумму не включаются величины $a_{11}$ , $a_{22}$ ,..., $a_{nn}$ , то есть $a_{ij}$ с равными индексами.
Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,
$\displaystyle \sum_{i,j,k} a_{ij}b_{jk}.$
Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.