дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Производные некоторых элементарных функций


Применим полученную формулу производной обратной функции (точнее, формулу (4.15)) для нахождения производных некоторых элементарных функций.

        Пример 4.8   Найдём производную функции $ {f(x){=}\arcsin x}$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {{\varphi}(y)=\sin y}$ ( $ {-\frac{\pi}{2}\leqslant y\leqslant \frac{\pi}{2}}$), производная которой равна $ {{\varphi}'(y)=\cos y}$. Заметим, что при указанных значениях $ y$ выполнено неравенство $ {\cos y\geqslant 0}$, откуда $ {\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}}$ (корень берём со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15):     $ f'(x)=\dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\arcsin x)}}= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     
        Пример 4.9   Аналогично отыщем производную функции $ f(x)=\arccos x$. Обратной к $ f(x)$ служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\cos y$ ( $ 0\leqslant y\leqslant \pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\sin y$. Заметим, что при $ 0\leqslant y\leqslant \pi$ выполнено неравенство $ \sin y\geqslant 0$, откуда $ \sin y=\sqrt{1-\cos^2y}$ (корень со знаком $ +$). Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-\sin(\arccos x)}=-\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos^2(\arccos x)}}= -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
Заметим однако, что тот же результат можно было бы гораздо легче получить, используя тригонометрическую формулу $ \arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}$, откуда $ \arccos x=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin x$ и $ (\arccos x)'=-(\arcsin x)'=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$     
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
        Пример 4.10   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm tg}\nolimits y$ ( $ -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{\cos^2y}=1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{1+\mathop{\rm tg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)}=\dfrac{1}{1+x^2}.$
    
        Пример 4.11   Найдём производную функции $ f(x)=\mathop{\rm arcctg}\nolimits x$. Обратной к этой функции служит главная ветвь функции $ {\varphi}(y)=\mathop{\rm ctg}\nolimits y$ ($ 0<y<\pi$), производная которой равна $ {\varphi}'(y)=-\dfrac{1}{\sin^2y}=-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2y$. Поэтому по формуле (4.15)
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{-1-\mathop{\rm ctg}\nolimits ^2(\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)}=-\dfrac{1}{1+x^2}.$
Конечно, ту же формулу можно было получить из соотношения $ {\mathop{\rm arctg}\nolimits x+\mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}}$, откуда $ \mathop{\rm arcctg}\nolimits x=\dfrac{\pi}{2}-\mathop{\rm arctg}\nolimits x$ и $ (\mathop{\rm arcctg}\nolimits x)'=-(\mathop{\rm arctg}\nolimits x)'=-\dfrac{1}{1+x^2}.$     
        Пример 4.12   Найдём производную функции $ f(x)=a^x$ ($ a>0,\ a\ne1$). Обратной к ней служит функция $ {\varphi}(y)=\log_ay$, производная которой такова: $ {\varphi}'(y)=\dfrac{1}{y\ln a}$. Поэтому формула (4.15) даёт
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{1}{\dfrac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a.$
В частности, при $ a=e$ получаем
$\displaystyle (e^x)'=e^x.$
    

Выведем теперь формулы для производных гиперболических функций.

        Пример 4.13   Пусть $ y=\mathop{\rm sh}\nolimits x=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$. Заметим, что
$\displaystyle (e^{-x})'=e^{-x}(-x)'=e^{-x}(-1)=-e^{-x}$
по формуле производной композиции (с промежуточным аргументом $ u=-x$). Тогда
$\displaystyle y'=(\mathop{\rm sh}\nolimits x)'=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})'= \frac{1}{2}(e^x-(-e^{-x}))= \frac{1}{2}(e^x+e^{-x}))=\mathop{\rm ch}\nolimits x.$
    

Компьютерная математика Maple 7

Предисловие

Автор данной книги, как и многие почитатели компьютерных вычислений, прошел долгий путь их реализации: от программируемых микрокалькуляторов до работы на малых и персональных ЭВМ, использующих универсальные языки программирования высокого уровня. Это нашло отражение в его ранних книгах [1-3]. Совсем недавно пользователь ЭВМ, решая даже простые численные задачи, был вынужден осваивать основы программирования и готовить кустарные программы, вряд ли нужные кому-либо еще, кроме их создателя. Между тем возможности компьютеров постоянно росли. Сейчас персональный компьютер (ПК) с микропроцессором класса Pentium II, III или 4 намного превосходит по своим возможностям первые ЭВМ, занимавшие целые комнаты и залы. А скорость вычислений нынешних ПК в сотни раз превосходит скорость вычислений легендарных IBM PC XT и AT (первых ПК) и вплотную приближается к скорости вычислений суперЭВМ недавнего прошлого. Примеры решения задач Замена переменных Интегральное исчисление. Полярная система координат Любая точка на плоскости может быть однозначно определена при помощи различных координатных систем, выбор которых определяется различными факторами. Способ задания начальных условий для решения какой – либо конкретной технической задачи может определить выбор той или иной системы координат. Информатика, начертательная геометрия, ТОЭ, задачи по математике

В связи с этим стал меняться взгляд на назначение компьютера. На первое место вышло применение их для работы с текстовыми процессорами (например, Microsoft Word) и прикладными программными системами для автоматизации офисной деятельности. Увы, при этом многие пользователи стали забывать о том, что ЭВМ изначально создавались для вычислений, а вовсе не для замены ими популярной, но ставшей неудобной пишущей машинки. Развитие мультимедиа привело к бурному применению компьютеров в роли игровых автоматов. В результате главный стимул развития «электронного помощника» создается отнюдь не высокоинтеллектуальными задачами.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра