Конспект лекций по математике Производные высших порядков

Пример 4.19 Найдём вторую производную функции $f(x)=\sin^3x$ . Первая производная равна

$\displaystyle f'(x)=(\sin^3x)'=3\sin^2x\cos x;$

далее находим

$\displaystyle f''(x)=3(\sin^2x\cos x)'=3(2\sin x\cos^2x-\sin^3x)=3\sin x(2\cos^2x-\sin^2x).$

Пример 4.20 Пусть $y=f(x)=e^{kx}$ . Тогда

$\displaystyle y'=e^{kx}\cdot k=ke^{kx}; y''=k(e^{kx})'=ke^{kx}\cdot k=k^2e^{kx}; \dots; y^{(n)}=k^ne^{kx}; \dots.$

При

все производные оказываются равными исходной функции: $(e^x)^{(n)}=e^x.$

Пример 4.21 Рассмотрим функцию $y=f(x)=\sin x$ . Тогда

$\displaystyle y'=\cos x,\; y''=-\sin x,\;y'''=-\cos x,\;y^{(4)}=\sin x.$

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Поскольку четвёртая производная $y^{(4)}$ совпала с исходной функцией

, то далее значения производных начнут повторяться с шагом 4: при $k=0;1;2;\dots$ получаем

$\displaystyle y^{(4k)}(x)=\sin x; y^{(4k+1)}(x)=\cos x; y^{(4k+2)}(x)=-\sin x; y^{(4k+3)}(x)=-\cos x.$

Заметим также, что

$\displaystyle y'=\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad y''=-\sin x=\sin(x+2\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad y'''=-\cos x=\sin(x+3\frac{\pi}{2}),$
$\displaystyle {}\quad\quad\quad\quad y^{(4)}=\sin x=\sin(x+4\frac{\pi}{2}).$

Легко видеть, что имеет место общая формула:

$\displaystyle y^{(n)}=(\sin x)^{(n)}=\sin(x+n\frac{\pi}{2}).$

Упражнение 4.4 Рассмотрите функцию $y=\cos x$ и получите для её производных аналогичные формулы.

Упражнение 4.5 Найдите производные произвольного порядка

от гиперболических функций $\mathop{\rm sh}\nolimits x$ и $\mathop{\rm ch}\nolimits x$ .

Упражнение 4.6 Найдите производные произвольного порядка

от функции $y=\ln x$ . Придумайте формулу, позволяющую кратко записать выражение для $y^{(n)}$ ; эта формула будет содержать знак факториала ( $n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n$ ).

Упражнение 4.7 Докажите, что вторая производная чётной функции является чётной функцией, а вторая производная нечётной функции -- нечётной функцией.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра