дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Матрицы Определители

     Предложение 14.6   При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть $ {\vert A^\top\vert=\vert A\vert}$ .     

Предложение 14.7   Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть $ {\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert}$ .     

 Предложение 14.8   Если в матрице $ A$ поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак.     

Ввиду ограниченности курса доказательства этих трех свойств мы опускаем. Читатель может найти их в учебниках по линейной алгебре [3], [5] или же может без особых сложностей проверить их на матрицах второго и третьего порядков.

        Предложение 14.9   Если матрица $ A$ имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Поменяем местами две одинаковые строки. В силу предложения 14.8 определитель сменит знак. С другой стороны, так как строки были одинаковыми, то матрица не изменилась и, следовательно, не изменился и ее определитель. Получим, что $ {\vert A\vert=-\vert A\vert}$ , откуда следует, что $ {\vert A\vert=0}$ .     

В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками (столбцами) мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками (матрицами-столбцами), то есть поэлементно. Результатом будет служить строка (столбец), как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк (столбцов) и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк (столбцов), то есть суммах с числовыми коэффициентами.

        Предложение 14.10   Если строку матрицы умножить на число $ {\alpha}$ , то ее определитель умножится на это число.

        Доказательство.     Пусть $ A$ -- исходная матрица, $ B$  -- матрица, полученная из $ A$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ :

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}... ...n}\\ \dots&\dots&\dots&\dots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{array}\right).$

Тогда

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}{\alpha}a_{1k}M_k,$

где $ M_k$ -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ или, что то же самое, из матрицы $ A$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца.

Вынесем множитель $ {\alpha}$ за знак суммы и получим

$\displaystyle \vert B\vert={\alpha}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}a_{1k}M_k={\alpha}\vert A\vert.$

Пусть теперь матрица $ B$ получается из матрицы $ A$ умножением $ j$ -ой строки на число $ {\alpha}$ . Поменяем местами первую и $ j$ -ую строки в матрице $ A$ и то же самое проделаем в матрице $ B$ . Получим две новых матрицы $ A_1$ и $ B_1$ . По предложению 14.8

$\displaystyle \vert A\vert=-\vert A_1\vert,\quad \vert B\vert=-\vert B_1\vert.$(14.10)
 


Очевидно, что матрица $ B_1$ получается из матрицы $ A_1$ умножением первой строки на число $ {\alpha}$ . Как только что было доказано, $ {\vert B_1\vert={\alpha}\vert A_1\vert}$ . Таким образом, из второго равенства (14.10) находим $ {\vert B\vert=-{\alpha}\vert A_1\vert}$ , отсюда с помощью первого равенства (14.10) получаем $ {\vert B\vert={\alpha}\vert A\vert}$ .     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра