дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Матрицы Определители

        Предложение 14.11   Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.

        Доказательство.     Нулевую строку можно рассматривать как строку из единиц, умноженную на число ноль. По предложению 14.10 определитель такой матрицы равен нулю, умноженному на определитель матрицы, содержащей строку из единиц. Результат такого умножения всегда будет ноль.     

        Предложение 14.12   Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число $ {\alpha}$ (строки пропорциональны), то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.    По предложению 14.10 определитель исходной матрицы равен числу $ {\alpha}$ , умноженному на определитель матрицы, у которой есть две одинаковые строки. По предложению 14.9 определитель последней матрицы равен нулю. Поэтому и определитель исходной матрицы равен нулю.     

        Предложение 14.13   Пусть в матрице $ A$ $ i$ -ая строка имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда $ {\vert A\vert=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert}$ , где матрица $ A_p$ получается из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}p_1&p_2&\cdots&p_n\end{array}\right)$ , а матрица $ A_q$  -- заменой $ i$ -ой строки на строку $ \left(\begin{array}{cccc}q_1&q_2&\cdots&q_n\end{array}\right)$ .

        Доказательство.     Пусть первая строка матрицы $ A$ имеет вид $ \left(\begin{array}{cccc}p_1+q_1&p_2+q_2&\cdots&p_n+q_n\end{array}\right)$ . Тогда

\begin{multline*} \vert A\vert=\sum_{k=1}^n(p_k+q_k)(-1)^{k+1}M_k=\sum_{k=1}^np... ... + \sum_{k=1}^nq_k(-1)^{k+1}M_k=\vert A_p\vert+\vert A_q\vert. \end{multline*}

Для случая $ i=1$ утверждение доказано.

Пусть $ i\ne1$ . Обозначим через $ B$ , $ B_p$ , $ B_q$ матрицы $ A$ , $ A_p$ , и $ A_q$ , в которых поменяли местами первую и $ i$ -ую строки. По только что доказанному (для $ i=1$ ) утверждению $ {\vert B\vert=\vert B_p\vert+\vert B_q\vert}$ . По предложению 14.8 $ {\vert B\vert=-\vert A\vert}$ , $ {\vert B_p\vert=-\vert A_p\vert}$ , $ {\vert B_q\vert=-\vert A_q\vert}$ . Следовательно, $ {-\vert A\vert=-\vert A_p\vert-\vert A_q\vert}$ . Умножив обе части последнего равенства на $ -1$ , получим требуемое утверждение.     

Предложение 14.14   Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится.

        Доказательство.     Пусть к $ i$ -ой строке матрицы $ A$ прибавлена $ j$ -ая строка, умноженная на число $ {\alpha}$ . Новую матрицу обозначим $ B$ . В матрице $ B$ элементы $ i$ -ой строки имеют вид $ {a_{ik}+{\alpha}a_{jk}}$ . По предложению 14.13 $ {\vert B\vert=\vert A\vert+\vert C\vert}$ , где $ C$  -- матрица, полученная из матрицы $ A$ заменой $ i$ -ой строки на $ j$ -ую строку, умноженную на число $ {\alpha}$ . По предложению 14.12 $ {\vert C\vert=0}$ , то есть $ {\vert B\vert=\vert A\vert}$ .     

        Предложение 14.15   Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю.

        Доказательство.     По предложению 14.13 определитель исходной матрицы равен сумме определителей матриц, в каждой из которых есть пропорциональные строки. По предложению 14.12 все эти определители равны нулю. Следовательно, и определитель исходной матрицы тоже равен нулю.     

        Определение 14.7   Алгебраическим дополнением к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ называется число, равное $ (-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$ , где $ M_{ij}$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ A$ вычеркиванием $ i$ -ой строки и $ j$ -ого столбца.         

Алгебраическое дополнение к элементу $ a_{ij}$ матрицы $ A$ обозначается $ A_{ij}$ .

     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра