дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Матрицы Определители

 

   Пример 14.4   Пусть $ {A=\left(\begin{array}{rrr}1&2&3\\ -1&0&-2\\ -4&-3&5\end{array}\right)}$ . Тогда
$\displaystyle A_{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}-1&-2\\ -4&5\end{array}\right\vert=13,$
$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&2\\ -1&0\end{array}\right\vert=2.$
        

 Замечание 14.10   Используя алгебраические дополнения, определение 14.6 определителя можно записать так:

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{1k}A_{1k}.$
        

 Предложение 14.16   Разложение определителя по произвольной строке. Для определителя матрицы $ A$ справедлива формула

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik}.$

        Доказательство.     Если $ i=1$ , положим $ {B=A}$ . Пусть $ {i\ne1}$ . Тогда $ i$ -ую строку поменяем местами со строкой с номером $ {i-1}$ . Определитель сменит знак. Затем строку с номером $ {i-1}$ поменяем местами со строкой с номером $ {i-2}$ . Определитель снова сменит знак. Процесс перестановки строк будем продолжать до тех пор, пока $ i$ -ая строка матрицы $ A$ не станет первой строкой новой матрицы, которую мы обозначим $ B$ . Отметим, что в матрице $ B$ , начиная со второй строки, стоят строки матрицы $ A$ , причем порядок их следования не изменился.

При переходе от матрицы $ A$ к матрице $ B$ определитель сменит знак $ i-1$ раз (проверьте для случая $ i=3$ ). Таким образом

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\vert B\vert.$(14.11)


Это соотношение верно и при $ i=1$ . По определению 14.6 определителя,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^nb_{1k}(-1)^{k+1}N_k,$

 

где $ N_k$  -- определитель матрицы, полученной из матрицы $ B$ вычеркиванием первой строки и $ k$ -ого столбца. Первая строка матрицы $ B$ совпадает с $ i$ -ой строкой матрицы $ A$ , поэтому $ {b_{1k}=a_{ik}}$ . Результат вычеркивания в матрице $ B$ первой строки и $ k$ -ого столбца будет таким же, как при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Поэтому $ {N_k=M_{ik}}$ , где $ M_{ik}$  -- определитель матрицы, полученной при вычеркивании в матрице $ A$ $ i$ -ой строки и $ k$ -ого столбца. Следовательно,

$\displaystyle \vert B\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}.$

 

В силу равенства (14.11) получим

$\displaystyle \vert A\vert=(-1)^{i-1}\sum_{k=1}^n a_{ik}(-1)^{k+1}M_{ik}=\sum_{k=1}^n a_{ik} (-1)^{i+k}M_{ik}.$

По определению 14.7 алгебраического дополнения получим $ {(-1)^{i+k} M_{ik}=A_{ik}}$ . Тогда из предыдущего равенства вытекает

$\displaystyle \vert A\vert=\sum_{k=1}^n a_{ik}A_{ik},$

что и требовалось доказать.   

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра