Конспект лекций по математике Матрицы Определители Алгоритм создания нулей в столбце

Алгоритм создания нулей в столбце.

Пусть требуется вычислить определитель матрицы

порядка

. Если ${a_{11}=0}$ , то поменяем местами первую строку и любую другую, в которой первый элемент не нуль. В результате определитель

, будет равен определителю новой матрицы с противоположным знаком. Если же первый элемент каждой строки равен нулю, то матрица

имеет нулевой столбец и по предложениям 14.11, 14.18 ее определитель равен нулю.

Итак, считаем, что уже в исходной матрице ${a_{11}\ne0}$ . Первую строку оставляем без изменений. Прибавим ко второй строке первую строку, умноженную на число $\left(-\dfrac{a_{21}}{a_{11}}\right)$ . Тогда первый элемент второй строки будет равен

$\displaystyle a_{21}^{(1)}=a_{21}+a_{11}\left(-\frac{a_{21}}{a_{11}}\right)=0.$

Остальные элементы новой второй строки обозначим $a_{2k}^{(1)}$ , ${k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по предложению 14.14 равен $\vert A\vert$ .

Первую строку умножим на число $\left(-\dfrac{a_{31}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к третьей. Первый элемент новой третьей строки будет равен

$\displaystyle a_{31}^{(1)}=a_{31}+a_{11}\left(-\frac{a_{31}}{a_{11}}\right)=0.$

Остальные элементы новой третьей строки обозначим $a_{3k}^{(1)}$ , ${k=2,3,\ldots,n}$ . Определитель новой матрицы по предложению 14.14 равен $\vert A\vert$ .

Процесс получения нулей вместо первых элементов строк продолжим дальше. Наконец, первую строку умножим на число $\left(-\dfrac{a_{n1}}{a_{11}}\right)$ и прибавим к последней строке. В результате получается матрица, обозначим ее $A^{(1)}$ , которая имеет вид

$\displaystyle A^{(1)}=\left(\begin{array}{ccccc}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\dots&a_{1... ...ots&\dots\\ 0&a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right),$

причем $\vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert$ . Для вычисления определителя матрицы $A^{(1)}$ используем разложение по первому столбцу

$\displaystyle \vert A\vert=\vert A^{(1)}\vert=a_{11}A_{11}^{(1)}+0\cdot A_{21}^{(1)}+\ldots+0\cdot A_{n1}^ {(1)}.$

Так как $(-1)^{1+1}=1$ , то

$\displaystyle \vert A\vert=a_{11}\left\vert\begin{array}{cccc}a_{22}^{(1)}&a_{2... ...s&\dots\\ a_{n2}^{(1)}&a_{n3}^{(1)}&\dots&a_{nn}^{(1)}\end{array}\right\vert.$

В правой части стоит определитель матрицы порядка

. К нему применим тот же алгоритм, и вычисление определителя матрицы

сведется к вычислению определителя матрицы порядка

. Процесс повторяем до тех пор, пока не дойдем до определителя второго порядка, который вычисляется по определению.

Если матрица

не обладает какими-то специфическими свойствами, то заметно уменьшить объем вычислений по сравнению с предложенным алгоритмом не удается. Еще одна хорошая сторона этого алгоритма -- по нему легко составить программу для компьютера для вычисления определителей матриц больших порядков. В стандартных программах вычисления определителей используется этот алгоритм с не принципиальными изменениями, связанными с минимизацией влияния ошибок округления и погрешностей входных данных при вычислениях компьютера.

Пример 14.6 Вычислите определитель матрицы

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 3&1&7&0\\ -4&-1&2&1\\ -6&7&1&-1\end{array}\right)$

Решение. Первую строку оставляем без изменения. Ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число $-\dfrac32$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}3&1&7&0\end{array}\right)+\left(-\dfrac3... ...ay}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&\dfrac52&\dfrac52&-3\end{array}\right).$

Определитель не меняется. К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число $-\left(\dfrac{-4}2\right)=2$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-4&-1&2&1\end{array}\right)+2\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&-3&8&5\end{array}\right).$

Определитель не меняется. К четвертой строке прибавляем первую, умноженную на число $-\left(\dfrac{-6}2\right)=3$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrrr}-6&7&1&-1\end{array}\right)+3\left(\begi... ...-1&3&2\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}0&4&10&5\end{array}\right).$

Определитель не меняется. В результате получаем

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrrr}2&-1&3&2\\ 0& \phantom... ...\phantom{\dfrac52}\frac52&\frac52&-3\\ -3&8&5\\ 4&10&5\end{array}\right\vert.$

По тому же алгоритму считаем определитель матрицы порядка 3, стоящий справа. Первую строку оставляем без изменений, ко второй строке прибавляем первую, умноженную на число ${-\left(\dfrac{-3}{\left(\frac52\right)}\right)=\dfrac65}$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}-3&8&5\end{array}\right)+\dfrac65\left(\b... ...2&-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&11&\dfrac75\end{array}\right).$

К третьей строке прибавляем первую, умноженную на число ${-\left(\dfrac{4}{\left(\frac52\right)}\right)=-\dfrac85}$ :

$\displaystyle \left(\begin{array}{rrr}4&10&5\end{array}\right)-\dfrac85\left(\b... ...-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&6&\dfrac{49}5\end{array}\right).$

В результате получаем

$\begin{multline*} \vert A\vert=2\left\vert\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac52}\... ...5\left(11\cdot\frac{49}5-6\cdot\frac75\right)=11\cdot49-42=497. \end{multline*}$

Ответ. $\vert A\vert=497$ .

Замечание 14.11 Внимательный читатель, наверное, отметил, что хотя при вычислениях использовались дроби, результат оказался целым числом. Действительно, используя свойства определителей и то, что исходные числа -- целые, операций с дробями можно было бы избежать. Но в инженерной практике числа крайне редко бывают целыми. Поэтому, как правило, элементы определителя будут десятичными дробями и применять какие-то ухищрения для упрощения вычислений нецелесообразно.