Конспект лекций по математике Матрицы Обратная матрица Пример

Конспект лекций по математике Матрицы Обратная матрица

Пример 14.7 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\end{array}\right)}$ .

Решение. Находим определитель

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&-2&0\\ 3&4&2\\ -1&3&1\... ...ray}\right\vert+0\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}\right\vert=8.$

Так как $\vert A\vert\ne0$ , то матрица

-- невырожденная, и обратная для нее существует.

Находим алгебраические дополнения:

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\left\vert\begin{array}{rr}4&2\\ 3&1\end{array}\... ..._{12}=(-1)^{1+2}\left\vert\begin{array}{rr}3&2\\ -1&1\end{array}\right\vert=-5,$

$\displaystyle A_{13}=(-1)^{1+3}\left\vert\begin{array}{rr}3&4\\ -1&3\end{array}... ...A_{21}=(-1)^{2+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 3&1\end{array}\right\vert=2,$

$\displaystyle A_{22}=(-1)^{2+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ -1&1\end{array}... ...{23}=(-1)^{2+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ -1&3\end{array}\right\vert=-1,$

$\displaystyle A_{31}=(-1)^{3+1}\left\vert\begin{array}{rr}-2&0\\ 4&2\end{array}... ...A_{32}=(-1)^{3+2}\left\vert\begin{array}{rr}1&0\\ 3&2\end{array}\right\vert=-2,$

$\displaystyle A_{33}=(-1)^{3+3}\left\vert\begin{array}{rr}1&-2\\ 3&4\end{array}\right\vert=10.$

Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй -- строке:

$\displaystyle A^{-1}=\frac18\left(\begin{array}{rrr}-2&2&-4\\ -5&1&-2\\ 13&-1&10\end{array}\right).$

(14.15)

Полученная матрица и служит ответом к задаче.

Замечание 14.13 В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

$\displaystyle A^{-1}= \left(\begin{array}{rrr}\phantom{\dfrac11}-\frac28&\frac... ...8&-\frac14\\ \phantom{\dfrac11}\frac{13}8&-\frac18&\frac54\end{array}\right).$

(14.16)

Однако запись (14.15) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (14.15) предпочтительнее, если элементы матриц -- целые числа. И наоборот, если элементы матрицы

-- десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя $\frac1{\vert A\vert}$ впереди.

Замечание 14.14 При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример 14.8 Найдите обратную матрицу для матрицы ${A=\left(\begin{array}{rr}1&3\\ -2&5\end{array}\right)}$ .

Решение.

$\displaystyle \vert A\vert=11\ne0\quad\Rightarrow\quad A^{-1}$ -- существует.

$\displaystyle A_{11}=(-1)^{1+1}\cdot5=5,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\cdot(-2)=2,$

$\displaystyle A_{21}=(-1)^{2+1}\cdot3=-3,\quad A_{22}=(-1)^{2+2}\cdot1=1.$

Ответ: $A^{-1}=\dfrac1{11}\left(\begin{array}{rr}5&-3\\ 2&1\end{array}\right)$ .

Нахождение обратной матрицы по формуле (14.14) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра