дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Производные функции, заданной параметрически

Пусть задана зависимость двух переменных $ x$ и $ y$ от параметра $ t$, изменяющегося в пределах от $ {\alpha}$ до $ {\beta}$:

$\displaystyle x={\varphi}(t); y=\psi(t); t\in({\alpha};{\beta}).$

Пусть функция $ x={\varphi}(t)$ имеет обратную: $ t={\varphi}^{-1}(x)=\Phi(x)$. Тогда мы можем, взяв композицию функций $ y=\psi(t)$ и $ t=\Phi(x)$, получить зависимость $ y$ от $ x$: $ y=\psi(\Phi(x))$. Зависимость величины $ y$ от величины $ x$, заданная через зависимость каждой из них от параметра $ t$ в виде $ x={\varphi}(t), y=\psi(t)$, называется функцией $ y=y(x)$, заданной параметрически.

Производную функции $ y(x)$, заданной параметрически, можно выразить через производные функций $ {\varphi}(t)$ и $ \psi(t)$: поскольку $ y=\psi(\Phi(x))$ и, по формуле производной обратной функции, $ \Phi'(x)=\dfrac{1}{{\varphi}'(\Phi(x))}$, то

$\displaystyle y'_x=\psi'(\Phi(x))\Phi'(x)= \dfrac{\psi'(\Phi(x))}{{\varphi}'(\Phi(x))}= \dfrac{y'_t(t)}{x'_t(t)},$

где $ t=\Phi(x)$ -- значение параметра, при котором получается интересующее нас при вычислении производной значение $ x$.

Заметим, что применение формулы приводит нас к зависимости между $ z=y'_x$ и $ x$, снова выраженной в виде параметрической зависимости: $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$; второе из этих соотношений -- то же, что участвовало в параметрическом задании функции $ y(x)$. Несмотря на то, что производная не выражена через $ x$ в явном виде, это не мешает решать нам задачи, связанные с нахождением производной, найдя соответствующее значение параметра $ t$. Покажем это на следующем примере.

        Пример 4.22   Пусть зависимость между $ x$ и $ y$ задана параметрически следующими формулами:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
Найдём уравнение касательной к графику зависимости $ y(x)$ в точке $ (\ln2;\frac{\pi}{4})$.
Значения $ x=\ln(1+t^2)=\ln2$ и $ y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t=\frac{\pi}{4}$ получаются, если взять $ t=1$. Найдём производные $ x$ и $ y$ по параметру $ t$:
$\displaystyle x'_t=(\ln(1+t^2))'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}; y'_t=(\mathop{\rm arctg}\nolimits t)'_t=\dfrac{1}{1+t^2}.$
Поэтому
$\displaystyle y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{ \dfrac{1}{1+t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}}= \dfrac{1}{2t}.$
При $ t=1$ получаем значение производной
$\displaystyle y'_x\vert _{t=1}=\frac{1}{2};$
это значение задаёт угловой коэффициент $ k$ искомой касательной. Координаты $ x_0=\ln2$ и $ y_0=\frac{\pi}{4}$ точки касания заданы в условии задачи. Значит, уравнение касательной таково:
$\displaystyle y=y_0+k(x-x_0)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}(x-\ln2).$
    

Заметим, что исходя из полученной параметрической зависимости $ y'_x=z(t)$, $ x=x(t)$, мы можем отыскать вторую производную функции $ y$ по переменной $ x$:

$\displaystyle y''_{xx}=(y'_x)'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}.$
        Пример 4.23   Пусть дана та же зависимость между $ y$ и $ x$, что в предыдущем примере:
$\displaystyle x=\ln(1+t^2); y=\mathop{\rm arctg}\nolimits t.$
Найдём выражение для второй производной $ y''_{xx}$ через параметр $ t$. Ранее мы получили, что $ y'_x=z(t)=\dfrac{1}{2t}$. Поэтому $ z'_t=-\dfrac{1}{2t^2}$; производную $ x'_t=\dfrac{2t}{1+t^2}$ мы нашли выше. Получаем:
$\displaystyle y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t} =\dfrac{-\dfrac{1}{2t^2}}{\dfrac{2t}{1+t^2}} =-\dfrac{1+t^2}{4t^3}.$
    

Можно получить и явный вид производной второго порядка от параметрически заданной функции, если подставить $ z=\dfrac{y'_t}{x'_t}$ в формулу $ y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}$; при этом получим:

$\displaystyle y''_{xx}=\dfrac{\Bigl(\dfrac{y'_t}{x'_t}\Bigr)'_t}{x'_t}= \dfrac{y''_{tt}x'_t-x''_{tt}y'_t}{(x'_t)^3}.$(4.17)

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Строка меню и окно редактирования документов

До сих пор разработчики пользовательского интерфейса математических систем по существу копировали стандартный интерфейс программ из комплекса Microsoft Office 95/97, в частности, самого популярного текстового процессора Word 95/97. Разработчики интерфейса пользователя систем Mathematica 3/4 отошли от этой традиции. Примеры решения задач Интегрирование по частям Интегральное исчисление. Цилиндрическая и сферическая системы координат Как и на плоскости, в пространстве положение любой точки может быть определено тремя координатами в различных системах координат, отличных от декартовой прямоугольной системы. Матрицы и определители Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Нетрудно заметить, что пользовательский интерфейс систем Mathematica 3/4 реализует отдельный вывод своих элементов — окон (включая основное окно редактирования), панелей, палитр знаков и т. д. Это позволяет располагать их в любых местах экрана, что особенно удобно при работе с дисплеями, имеющими большой размер изображения — от 17 дюймов по диагонали и выше. При работе с дисплеями, имеющими небольшой экран (14 или 15 дюймов) и стандартном разрешении 640x480 пикселей раздельный вывод элементов интерфейса скорее неудобен, поскольку приходится тщательно располагать их в нужных местах и индивидуально подстраивать размеры отдельных окон и палитр. Однако после настройки элементы интерфейса выводятся в том виде, как это было задано.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра