Математика лекции Основные обозначения и определения Функции и их графики Примеры

Пример 1.4 При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто

соответствует ровно один выданный номерок

. Таким образом, между множеством

сданных пальто и множеством выданных номерков

(

-- это подмножество множества

всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f: p\mapsto n$ ( $p\in P$ , $n\in N'$ ).

Определение 1.4 Если $f:A\to B$ -- биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$ , который переходит в этот самый

при отображении

, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению

и обозначается $f^{-1}$ . Таким образом, $f^{-1}:B\to A$ , и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда

( $x\in A$ , $y\in B$ ).

Пример 1.5 В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ -- биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$ . Соответствие $g:N'\to P$ , $n\mapsto p$ ( $n\in N'$ , $p\in P$ )-- это обратная функция к функции $f:P\to N'$ , $p\mapsto n$ , то есть $g=f^{-1}$ .

Очевидно, что в случае, если $f:A\to B$ -- биекция и $f^{-1}$ -- обратная к функция, то $f^{-1}(f(x))=x$ для всех $x\in A$ и $f(f^{-1}(y))=y$ для всех $y\in B$ . Последнее равенство показывает, что $(f^{-1})^{-1}=f$ и что функции и $f^{-1}$ взаимно обратны. (То есть если -- функция, обратная к , то -- функция, обратная к .)

Рис.1.5.Функции

и $f^{-1}$ взаимно обратны

Итак, для того чтобы функция $f:A\to B$ имела обратную функцию $f^{-1}:B\to A$ , функция должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между и . Тогда обратная функция $f^{-1}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между и .