дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Математика лекции Основные обозначения и определения Функции и их графики

 

Пример 1.6 Функция $ f:[0;+\infty)\to[0;+\infty)$, заданная формулой $ y=f(x)=x^2$,-- это биекция. Обратная к ней функция-- это квадратный корень: $ x=f^{-1}(y)=\sqrt{y}$.

Рис.1.6.Функции $ y=x^2$ и $ x=\sqrt{y}$-- взаимно обратны


В математическом анализе основную роль играют такие функции $ f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть $ \mathcal{E}(f)\sbs\mathbb{R}$. Такие функции $ f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6-- числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 1.7 Пусть $ A$-- множество всевозможных отрезков $ CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $ C$ и $ D$) не совпадают. Пусть соответствие $ f$ сопоставляет каждому такому отрезку $ CD$ его длину $ f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка-- число, то $ f$-- числовая функция, $ f:A\to\mathbb{R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: $ \mathcal{E}(f)=\{y\in\mathbb{R}: y>0\}$.

Замечание 1.2 В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $ f$, область определения которых $ \mathcal{D}(f)$ также является подмножеством числовой прямой $ \mathbb{R}$, то есть такими функциями $ f:A\to B$, где $ A\sbs\mathbb{R}$ и $ B\sbs\mathbb{R}$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых-- подмножество в пространстве $ \mathbb{R}^n$, равном прямому произведению $ n$ экземпляров множества $ \mathbb{R}$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

Определение 1.5 Графиком функции $ f:A\to B$ называется множество пар $ (x;y)$ элементов $ x\in A$ и $ y\in B$, такое, что в каждой паре $ (x;y)$ второй элемент $ y$-- это значение функции $ f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $ x$.
Рассмотрим множество всевозможных пар $ (x;y)$, где $ x\in A$, $ y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $ A$ на множество $ B$ и обозначается $ A\times B$.

Ясно, что график $ {\Gamma}_f$ функции $ f$-- это подмножество прямого произведения $ A\times B$:

$\displaystyle {\Gamma}_f=\{(x;y)\in A\times B: y=f(x)\}\sbs A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2-- подмножество в $ \mathbb{R}\times[-1;1]$; график примера 1.3-- подмножество в $ \mathbb{R}\times\mathbb{R}=\mathbb{R}^2$; оба графика примера 1.6-- подмножества в $ \mathbb{R}_+\times\mathbb{R}_+=\mathbb{R}_+^2$ (здесь мы ввели обозначение $ \mathbb{R}_+=[0;+\infty)$, которого будем придерживаться и далее).


Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Знакомство с символьными вычислениями

Большинство первых CKM (Eureka, Mercury, Excel, Lotus-123, Mathcad для MS-DOS, PC MATLAB и др.) предназначались для численных расчетов. Они как бы превращали компьютер в большой программируемый калькулятор, способный быстро и автоматически (по введенной программе) выполнять арифметические и логические операции над числами или массивами чисел. Их результат всегда конкретен — это или число, или набор чисел, представляющих таблицы, матрицы или точки графиков. Разумеется, компьютер позволяет выполнять такие вычисления с немыслимой ранее скоростью, педантичностью и даже точностью, выводя результаты в виде хорошо оформленных таблиц или графиков. Примеры решения задач Формула парабол Интегрирование по частям Комплексные числа Тригонометрическая и показательная форма числа Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Однако результаты вычислений редко бывают абсолютно точными в математическом смысле: как правило, при операциях с вещественными числами происходит их округление, обусловленное принципиальным ограничением разрядной сетки компьютера при хранении чисел в памяти. Реализация большинства численных методов (например, решения нелинейных или дифференциальных уравнений) также базируется на заведомо приближенных алгоритмах. Часто из-за накопления погрешностей эти методы теряют вычислительную устойчивость и расходятся, давая неверные решения или даже ведя к полному краху работы вычислительной системы — вплоть до злополучного «зависания».

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра