Математика лекции Линейная зависимость векторов Векторная алгебра


Введем еще одно очень важное понятие, которое используется не только в алгебре, но и во многих других разделах математики.

Определение 10.14 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно зависимой, если существует такой набор коэффициентов $ {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , из которых хотя бы один отличен от нуля, что $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k
=0$ .

Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейно независимой. Но последнее определение лучше сформулировать по другому.

Определение 10.15 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ называется линейно независимой, если равенство $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k
=0$ возможно только при $ {\alpha}_1={\alpha}_2=\ldots={\alpha}_k=0$ .

Предложение 10.6 Система векторов $ {\bf a}_1,{\bf a}_2,\dots,{\bf a}_k$ линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.

Доказательство. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существует такой набор коэффициентов $ {\alpha}_1,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_k$ , что $ {\alpha}_1{\bf a}_1+{\alpha}_2{\bf a}_2+\ldots+{\alpha}_k{\bf a}_k
=0$ , причем хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Предположим, что $ {\alpha}_1\ne0$ . Тогда

$\displaystyle {\bf a}_1=\left(-\frac{{\alpha}_2}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_2+\l...
...\right){\bf a}_3+\ldots+\left(-\frac{{\alpha}_k}{{\alpha}_1}\right){\bf a}_k\,,$

то есть $ {\bf a}_1$ является линейной комбинацией остальных векторов системы.

Пусть один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов. Предположим, что это вектор $ {\bf a}_1$ , то есть $ {{\bf a}_1=\nu_2{\bf a}_2+\ldots+\nu_k{\bf a}_k}$ . Очевидно, что $ {-{\bf a}_1+\nu_2{\bf a}_2+
\ldots+\nu_k{\bf a}_k=0}$ . Получили, что линейная комбинация векторов системы равна нулю, причем один из коэффициентов отличен от нуля (равен $ -1$ ).

Решение задач по математике