дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Интегрирование и дифференцирование, Примеры и упражнения

Пример 4.25 Найдём производную функции $ y=\cos(2x+dfrac{\pi}{4})$.
Данная функция-- композиция функции $ y=\cos u$ и линейной функции $ u=2x+\dfrac{\pi}{4}$. По формуле производной композиции получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_uu'_x=-\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})(2x+\dfrac{\pi}{4})'= -\sin(2x+\dfrac{\pi}{4})\cdot2=-2\sin(2x+\dfrac{\pi}{4}).$
Пример 4.26 Найдём производную функции $ y=\dfrac{2x^2-1}{2x^2+1}$.
Применим формулу для производной частного: $ (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}$. В нашем случае $ u=2x^2-1$ и $ v=2x^2+1$. Получим:
$\displaystyle y'=\dfrac{(2x^2-1)'(2x^2+1)-(2x^2+1)'(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}= \dfrac{4x(2x^2+1)-4x(2x^2-1)}{(2x^2+1)^2}=\dfrac{8x}{(2x^2+1)^2}.$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции
Пример 4.27 Найдём производную функции $ y=\sin^2\ln^3(x^2+4)$.
Наша функция имеет вид $ y=(\sin((\ln(x^2+4))^3))^2$, так что самой внешней является степенная функция $ y=u^2$, где $ u=\sin\ln^3(x^2+4)$. Затем следуют промежуточные функции $ v=(\ln(x^2+4))^3$, $ z=\ln(x^2+4)$, $ w=x^2+4$. В итоге имеем композицию $ y=u^2,\; u=\sin v,\; v=z^3,\; z=\ln w,\; w=x^2+4$. Последовательно пользуясь формулой производной композиции, получаем:
$\displaystyle y'_x=y'_u\cdot u'_v\cdot v'_z\cdot z'_w\cdot w'_x,$
или
$\displaystyle y'_x=2u\cdot\cos v\cdot3z^2\cdot\dfrac{1}{w}\cdot2x,$
или
\begin{multline*} y'_x=2\sin\ln^3(x^2+4)\cdot\cos\ln^3(x^2+4)\cdot3\ln^2(x^2+4)... ...+4)}{x^2+4}= \dfrac{6x\ln^2(x^2+4)\sin(2\ln^3(x^2+4))}{x^2+4}. \end{multline*}
Пример 4.28 Найдём вторую производную функции $ y=x^2e^{-2x}$.
Сначала найдём первую производную:
$\displaystyle y'=(x^2e^{-2x})'=(x^2)'e^{-2x}+x^2(e^{-2x})'=2xe^{-2x}+x^2e^{-2x}\cdot(-2)= (2x-x^3)e^{-2x}.$
Затем отыщем вторую производную как производную от первой производной:
\begin{multline*} y''=(y')'=(2x-x^3)'e^{-2x}+(2x-x^3)(e^{-2x})'=\\ (2-3x^2)e^{-2x}+(2x-x^3)e^{-2x}(-2)=(2-3x^2-4x+2x^3)e^{-2x}. \end{multline*}
Ответ: $ y''=(2x^3-3x^2-4x+2)e^{-2x}$.
Пример 4.29 Найдём производную функции $ y(x)$, заданной параметрически:
$\displaystyle x=e^t+1; y=e^{2t}-1.$
Найдём сначала производные от $ x$ и $ y$ по переменной $ t$:
$\displaystyle x'_t=e^t,\quad y'_t=e^{2t}\cdot2=2e^{2t}.$
Затем найдём $ y'_x$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:
$\displaystyle y'_x=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t.$
Заметим, что $ 2e^t=2(x-1)$, так что можно получить явное выражение $ y'_x$ через $ x$:
$\displaystyle y'_x=2(x-1).$
(Это не удивительно, поскольку легко было заметить с самого начала, что $ y=(x-1)^2-1$, откуда $ y'=2(x-1)-0=2(x-1)$.)
Ответ: $ y'_x=2e^t=2(x-1).$
Пример 4.30 Найдём вторую производную $ y''_{xx}$ функции, заданной параметрически:
$\displaystyle x=\sin t^3;\; y=\cos t^2.$
Найдём сначала первую производную как функцию параметра $ t$ по формуле $ y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}$:
$\displaystyle y'_x=\dfrac{-\sin t^2\cdot2t} {\cos t^3\cdot3t^2}= -\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3}.$
Теперь положим $ z=y'_x$ и найдём производную от функции $ x=\sin t^3;\; z=-\dfrac{2\sin t^2}{3t\cos t^3},$ заданной параметрически. Имеем: $ x'_t=\cos t^3\cdot3t^2$ (эта производная была найдена нами раньше, при вычислении $ y'_x$) и
$\displaystyle z'_t=-\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\cos t^3)-(2\sin t^2)(3\cos t^3-9t^3\sin t^3)}% {9t^2\cos^2t^3}.$
Поэтому
\begin{multline*} y''_{xx}=z'_x=\dfrac{z'_t}{x'_t}= -\dfrac{(4t\cos t^2)(3t\co... ...^3-6\sin t^2\cos t^3+18t^3\sin t^2\sin t^3}% {27t^4\cos^3t^3}. \end{multline*}
Тот же самый результат можно было бы получить по формуле (4.17).
Пример 4.31 Зависимость между $ x$ и $ y$ задана формулой
$\displaystyle x^3y+xy^2+y^3-3x+5y+3=0.$
Найдём производную $ y'_x$.
Продифференцируем обе части равенства по $ x$, считая при этом $ y$ промежуточной переменной, зависящей от $ x$:
$\displaystyle 3x^2y+x^3y'_x+y^2+x\cdot2yy'_x+3y^2y'_x-3+5y'_x=0.$
Оставим в левой части слагаемые, содержащие $ y'_x$, а остальные перенесём в правую часть:
$\displaystyle y'_x(x^3+2xy+3y^2+5)=-3x^2y-y^2+3,$
откуда
$\displaystyle y'_x=\dfrac{3-3x^2y-y^2}{x^3+2xy+3y^2+5}.$
Упражнение 4.8 Найдите производную справа при $ x=0$ от функции $ {f(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits \dfrac{1}{x}}$, если её доопределить при $ x=0$ так, чтобы она стала непрерывной справа в этой точке (покажите, что для этого нужно положить $ f(0)=\dfrac{\pi}{2}$).
Найдите также производную слева при $ x=0$, доопределив $ f(x)$ до непрерывности слева в этой точке.
Ответ: и та, и другая односторонние производные существуют и равны 0.
Упражнение 4.9 Найдите производные функций $ f(x)=\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$, $ g(x)=x\mathop{\rm th}\nolimits \dfrac{1}{x}$. Доопределите $ g(x)$ в точке 0 по непрерывности и отыщите при $ {x=0}$ левую и правую производные этой функции. Доопределите функцию $ f(x)$ двумя способами: так, чтобы она была непрерывна при $ {x=0}$ слева, и так, чтобы она была непрерывна справа. Для каждого из способов найдите в точке $ {x=0}$ соответствующую одностороннюю производную.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Палитры математических операторов и функций

У многих программ интерфейс предусматривает вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран. Математика примеры решения задач математический анализ Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Примеры решения задач Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Однако, сделав шаг назад, упомянутая фирма одновременно сделала два шага вперед — она ввела выбираемые пользователем и перемещаемые по экрану в любое место инструментальные палитры со множеством пиктограмм ввода математических символов, функций и команд управления системой. Они выводятся с помощью меню File | Palettes (Файл | Палитры).

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра