Конспект лекций по математике Существование решения системы линейных уравнений общего вида Теорема

Теорема 15.2 (Теорема Кронекера-Капелли.) Система линейных уравнений (15.1) является совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы .
Доказательство. Оно распадается на два этапа.
1. Пусть система имеет решение. Покажем, что ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ .
Пусть набор чисел ${({\alpha}_1,\,{\alpha}_2,\dots,{\alpha}_n)}$ является решением системы. Обозначим через -ый столбец матрицы , ${i=1,2,\dots,n}$ . Тогда ${{\alpha}_1a_1+ {\alpha}_2a_2+\ldots+{\alpha}_na_n=b}$ , то есть столбец свободных членов является линейной комбинацией столбцов матрицы . Пусть ${r={\rm Rg}A}$ . Предположим, что ${{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ . Тогда по предложению 15.1 ${{\rm Rg}A^*=r+1}$ . Выберем в базисный минор . Он имеет порядок . Столбец свободных членов обязан проходить через этот минор, иначе он будет базисным минором матрицы . Столбец свободных членов в миноре является линейной комбинацией столбцов матрицы . В силу свойств определителя ( предложения 14.13, 14.18) ${M={\alpha}_1M_1+{\alpha}_2M_2+\ldots+{\alpha}_nM_n}$ , где -- определитель, который получается из минора заменой столбца свободных членов на столбец . Если столбец проходил через минор , то в , будет два одинаковых столбца и, следовательно, ${M_i=0}$ . Если столбец не проходил через минор , то будет отличаться от минора порядка матрицы только порядком столбцов. Так как ${{\rm Rg}A=r}$ , то ${M_i=0}$ . Таким образом, ${M={\alpha}_1\cdot 0+{\alpha}_2\cdot 0+\ldots +{\alpha}_n\cdot 0=0}$ , что противоречит определению базисного минора. Значит, предположение, что ${{\rm Rg}A^*\ne{\rm Rg}A}$ , неверно.
2. Пусть ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ . Покажем, что система имеет решение. Так как ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*}$ , то базисный минор матрицы является базисным минором матрицы . Пусть через минор проходят столбцы ${a_{i_1},\,a_{i_2}, \dots,\,a_{i_r}}$ . Тогда по теореме о базисном миноре в матрице столбец свободных членов является линейной комбинацией указанных столбцов:

$\displaystyle b={\alpha}_1a_{i_1}+{\alpha}_2a_{i_2}+\ldots+{\alpha}_ra_{i_r}.$

(15.6)

Положим ${x_{i_1}={\alpha}_1}$ , ${x_{i_2}={\alpha}_2}$ , $\dots$ , ${x_{i_r}={\alpha}_r}$ , остальные неизвестные возьмем равными нулю. Тогда при этих значениях ${x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ получим
$\displaystyle x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n={\alpha}_1x_{i_1}+{\alpha}_2x_{i_2}+\ldots+{\alpha}_r x_{i_r}.$
В силу равенства (15.6) ${x_1a_1+x_2a_2+\ldots+x_na_n=b}$ . Последнее равенство означает, что набор чисел ${x_1,\,x_2,\,\dots\,x_n}$ является решением системы. Существование решения доказано.

В рассмотренной выше системе (15.4) ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*=1}$ , и система является совместной. В системе (15.5) ${{\rm Rg}A=1}$ , ${{\rm Rg}A^*=2}$ , и система является несовместной.
Замечание 15.3 Хотя теорема Кронекера-Капелли дает возможность определить, является ли система совместной, применяется она довольно редко, в основном в теоретических исследованиях. Причина заключается в том, что вычисления, выполняемые при нахождении ранга матрицы, в основном совпадают с вычислениями при нахождении решения системы. Поэтому, обычно вместо того, чтобы находить ${\rm Rg}A$ и ${\rm Rg}A^*$ , ищут решение системы. Если его удается найти, то узнаем, что система совместна и одновременно получаем ее решение. Если решение не удается найти, то делаем вывод, что система несовместна.