дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Векторная алгебра. Теория и примеры

Однородная система уравнений

        Предложение 15.2   Однородная система уравнений
$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\ldots+a_{1n}x_n=0,\\ ... ...\ldots\ldots\ldots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\ldots+a_{mn}x_n=0\end{array}\right.$(15.7)

всегда является совместной.

        Доказательство.    Для этой системы набор чисел $ {x_1=0}$ , $ {x_2=0}$ , $ \dots$ , $ {x_n=0}$ является решением.     

В этом разделе мы будем использовать матричную запись системы: $ {Ax=0}$ .

        Предложение 15.3   Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

        Доказательство.     Пусть $ c$ и $ d$ служат решениями системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {Ac=0}$ и $ {Ad=0}$ . Пусть $ {g=c+d}$ . Тогда

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

$\displaystyle Ag=A(c+d)=Ac+Ad=0+0=0.$

Так как $ Ag=0$ , то $ g$  -- решение.

Пусть $ {\alpha}$  -- произвольное число, $ {h={\alpha}c}$ . Тогда

$\displaystyle Ah=A({\alpha}c)={\alpha}(Ac)={\alpha}\cdot 0=0.$

Так как $ Ah=0$ , то $ h$  -- решение.     

        Следствие 15.1   Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Действительно, умножая ненулевое решение на различные числа, будем получать различные решения.    

        Определение 15.5   Будем говорить, что решения $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ системы $ {Ax=0}$ образуют фундаментальную систему решений, если столбцы $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$ образуют линейно независимую систему и любое решение системы является линейной комбинацией этих столбцов.         
        Определение 15.6   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда выражение
$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+\ldots+C_kx^{(k)},$
где $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$  -- произвольные числа, будем называть общим решением системы $ {Ax=0}$ .         

Из определения фундаментальной системы решений следует, что любое решение однородной системы может быть получено из общего решения при некоторых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ . И наоборот, при любых фиксированных числовых значениях $ {C_1,C_2,\dots,C_k}$ из общего решения получим решение однородной системы.

Как находить фундаментальную систему решений мы увидим позже, в разделе "Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)".

        Теорема 15.3   Пусть $ {x^{(1)},x^{(2)},\ldots,x^{(k)}}$  -- фундаментальная система решений однородной системы $ {Ax=0}$ . Тогда $ {{\rm Rg}A+k=n}$ , где $ n$  -- число неизвестных в системе.    

Доказательство читатель может найти, например, в [1].

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Палитры математических операторов и функций

У многих программ интерфейс предусматривает вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран. Математика примеры решения задач математический анализ Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Примеры решения задач Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Однако, сделав шаг назад, упомянутая фирма одновременно сделала два шага вперед — она ввела выбираемые пользователем и перемещаемые по экрану в любое место инструментальные палитры со множеством пиктограмм ввода математических символов, функций и команд управления системой. Они выводятся с помощью меню File | Palettes (Файл | Палитры).

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра