Конспект лекций по математике Четыре теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Коши

Конспект лекций по математике Четыре теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 5.4 (Коши) Пусть функции ${\varphi}(t)$ и $\psi(t)$ дифференцируемы на интервале $({\alpha};{\beta})$ и непрерывны при $t={\alpha}$ и $t={\beta}$ , причём ${\varphi}'(t)\ne0$ при всех $t\in({\alpha};{\beta})$ . Тогда в интервале $({\alpha};{\beta})$ найдётся такая точка , что

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

Доказательство. Докажем сначала, что ${\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})\ne0$ , то есть что дробь в левой части формулы имеет смысл. Действительно, для этой разности можно записать формулу конечных приращений:

$\displaystyle {\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})={\varphi}'({\gamma})({\beta}-{\alpha}),$

при некотором ${\gamma}\in({\alpha};{\beta})$ . Но в правой части этой формулы оба множителя отличны от нуля.

Для доказательства теоремы применим тот же приём, что при доказательстве теоремы Лагранжа: введём вспомогательную функцию

$\displaystyle \eta(t)=\psi(t)-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} ({\varphi}(t)-{\varphi}({\alpha})).$

Функция $\eta(t)$ , очевидно, является дифференцируемой при всех $t\in({\alpha};{\beta})$ и непрерывной в точках ${\alpha}$ и ${\beta}$ , поскольку этими свойствами обладают функции ${\varphi}$ и $\psi$ . Кроме того, очевидно, что при $t={\alpha}$ получается $\eta({\alpha})=0$ . Покажем, что и $\eta({\beta})=0$ :

$\displaystyle \eta({\beta})=\psi({\beta})-\psi({\alpha})-\dfrac{\psi({\beta})-\... ...hi}({\alpha}))= \psi({\beta})-\psi({\alpha})-(\psi({\beta})-\psi({\alpha}))=0.$

Значит, функция $\eta(t)$ удовлетворяет на отрезке $[{\alpha};{\beta}]$ условиям теоремы Ролля. Поэтому существует такая точка $t_0\in({\alpha};{\beta})$ , что $\eta'(t_0)=0$ .

Вычислим теперь производную функции $\eta(t)$ :

$\displaystyle \eta'(t)=\psi'(t)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t).$

Получаем, что

$\displaystyle 0=\eta'(t_0)=\psi'(t_0)-\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})} {\varphi}'(t_0),$

откуда получаем утверждение теоремы:

$\displaystyle \dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}=\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}'(t_0)}.$

Замечание 5.4 Можно считать функции $x={\varphi}(t)$ и $y=\psi(t)$ координатами движущейся на плоскости

точки, которая описывает линию

, соединяющую начальную точку $({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ с конечной точкой $({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$ . (Тогда уравнения $x={\varphi}(t)$ и $y=\psi(t)$ параметрически задают некоторую зависимость

, графиком которой служит линия

Рис.5.6.Хорда параллельна некоторой касательной к кривой

Отношение $\dfrac{\psi({\beta})-\psi({\alpha})}{{\varphi}({\beta})-{\varphi}({\alpha})}$ , как нетрудно видеть из чертежа, задаёт тогда угловой коэффициент хорды, соединяющей точки $({\varphi}({\alpha});\psi({\alpha}))$ и $({\varphi}({\beta});\psi({\beta}))$ . В то же время, по формуле производной функции, заданной параметрически, имеем: $y'_x=\dfrac{y'_t}{x'_t}=\dfrac{\psi'(t)}{{\varphi}'(t)}$ . Значит, дробь $\dfrac{\psi'(t_0)}{{\varphi}(t_0)}$ -- это угловой коэффициент касательной к линии

в некоторой точке $({\varphi}(t_0);\psi(t_0))\in L$ . Тем самым утверждение теоремы означает, с геометрической точки зрения, что на линии

найдётся точка, такая что проведённая в этой точке касательная параллельна хорде, соединяющей крайние точки линии. Но это -- то же самое утверждение, которое составляло геометрический смысл теоремы Лагранжа. Только в теореме Лагранжа линия

была задана явной зависимостью

, а в теореме Коши -- зависимостью, заданной в параметрической форме.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Палитры математических операторов и функций

У многих программ интерфейс предусматривает вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран. Математика примеры решения задач математический анализ Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Примеры решения задач Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Однако, сделав шаг назад, упомянутая фирма одновременно сделала два шага вперед — она ввела выбираемые пользователем и перемещаемые по экрану в любое место инструментальные палитры со множеством пиктограмм ввода математических символов, функций и команд управления системой. Они выводятся с помощью меню File | Palettes (Файл | Палитры).