дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Правило Лопиталя


На основе теоремы Коши мы выведем правило, которое даст нам мощный способ вычисления пределов отношений двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин. Сформулируем его сначала для отношения бесконечно малых.

        Теорема 5.5 (Правило Лопиталя)   Пусть функции $ f(x)$ и $ g(x)$ непрерывны в некоторой окрестности $ E$ точки $ x_0$ и $ f(x_0)=g(x_0)=0$, то есть $ f(x)\to0$ и $ g(x)\to0$ при $ x\to x_0$. Предположим, что при $ x\in E,\;x\ne x_0$ функции $ f(x)$ и $ g(x)$ имеют производные $ f'(x)$ и $ g'(x)$, причём существует предел отношения этих производных:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$
Тогда предел отношения самих функций $ f(x)$ и $ g(x)$ тоже существует и равен тому же числу $ L$:
$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

        Доказательство.     Заметим, что из условия $ \lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ следует, что оба односторонних предела также равны $ L$:

$\displaystyle \lim_{x\to x_0+}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L$ и $\displaystyle \lim_{x\to x_0-}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=L.$

Пусть $ x_1\in E$, $ x_1>x_0$. По теореме Коши, применённой к отрезку $ [x_0;x_1]$, получим тогда, с учётом того, что $ f(x_0)=0,\; g(x_0)=0$,

$\displaystyle \dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}=\dfrac{f(x_1)-f(x_0)}{g(x_1)-g(x_0)}= \dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)},$
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

где $ x^*\in(x_0;x_1)$. Перейдём теперь в этом равенстве к пределу при $ x_1\to x_0+$:

$\displaystyle \lim_{x_1\to x_0+}\dfrac{f(x_1)}{g(x_1)}= \lim_{x^*\to x_0+}\dfrac{f'(x^*)}{g'(x^*)}=L,$

так как, очевидно, при $ x_1\to x_0+$ имеем также $ x^*\to x_0+$. Теперь возьмём точку $ {x_2\in E}$, $ {x_2<x_0}$ и применим теорему Коши к отрезку $ [x_2;x_0]$. Получим

$\displaystyle \dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}=\dfrac{f(x_0)-f(x_2)}{g(x_0)-g(x_2)}= \dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})},$

где $ x^{**}\in(x_2;x_0)$. Переходя к пределу при $ x_2\to x_0-$ , получаем

$\displaystyle \lim_{x_2\to x_0-}\dfrac{f(x_2)}{g(x_2)}= \lim_{x^{**}\to x_0-}\dfrac{f'(x^{**})}{g'(x^{**})}=L,$

так как при $ x_2\to x_0-$ имеем $ x^{**}\to x_0-$.

Итак, оба односторонних предела отношения $ \dfrac{f(x)}{g(x)}$ равны $ L$. На основании теоремы о связи односторонних пределов с двусторонним получаем, что

$\displaystyle \lim_{x\to x_0}\dfrac{f(x)}{g(x)}=L.$

    

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Палитры математических операторов и функций

У многих программ интерфейс предусматривает вывод панелей с кнопками быстрого управления — уже привычными стали панели инструментов и панели форматирования. С одной стороны, эти панели упрощают работу, особенно для начинающих пользователей, но, с другой стороны, они загромождают экран. Математика примеры решения задач математический анализ Задания для подготовки к практическому занятию Вопросы и задачи Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тогда как большинство фирм-разработчиков программ компьютерной математики пошло по пути уменьшения числа таких кнопок, Wolfram Research сделала решительный шаг и вообще отказалась от вывода инструментальной панели с подобными кнопками. Причина такого шага вполне очевидна — запомнить назначение множества кнопок по рисункам на них оказалось ничуть не проще, чем иметь дело с множеством имен команд в обычном меню. Однако все же надо признать, что некоторое количество кнопок быстрого управления стоило бы оставить. Примеры решения задач Формула прямоугольников Интегрирование по частям

Однако, сделав шаг назад, упомянутая фирма одновременно сделала два шага вперед — она ввела выбираемые пользователем и перемещаемые по экрану в любое место инструментальные палитры со множеством пиктограмм ввода математических символов, функций и команд управления системой. Они выводятся с помощью меню File | Palettes (Файл | Палитры).

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра