Конспект лекций по математике Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса) Примеры

Конспект лекций по математике Алгоритм нахождения решений произвольной системы линейных уравнений (метод Гаусса)

Пример 15.5 Найдите фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы линейных уравнений:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5=0,\\ 2x_1-x_2-x_3-x_4... ... -5x_1+7x_2+x_3+10x_4-11x_5=0,\\ -x_1+5x_2-x_3+8x_4-7x_5=0.\end{array}\right.$

Решение. Составляем расширенную матрицу системы:

$\displaystyle A^*=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 2&-1&-1&-1&2&0\\ -5&7&1&10&-11&0\\ -1&5&-1&8&-7&0\end{array}\right).$

Умножим первую строку последовательно на

, 5 и 1 и прибавим соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

$\displaystyle A^*_1=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&12&-4&20&-16&0\\ 0&6&-2&10&-8&0\end{array}\right).$

Вторую строку умножим последовательно на числа 4 и 2 и прибавим соответственно к третьей и четвертой строкам. Получим матрицу

$\displaystyle A^*_2=\left(\begin{array}{rrrrrr} 1&1&-1&2&-1&0\\ 0&-3&1&-5&4&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\end{array}\right).$

Прямой ход метода Гаусса закончен. У полученной матрицы легко определить ранг, ее базисный минор $\left\vert\begin{array}{rr}1&1\\ 0&-3\end{array}\right\vert$ . Отсюда следует, что ${{\rm Rg}A={\rm Rg}A^*_2=2}$ . По теореме 15.3 число решений в фундаментальной системе равно разности между числом неизвестных и рангом матрицы, в нашем случае фундаментальная система состоит из трех решений.

Переходим к системе уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2-x_3+2x_4-x_5&0,\\ -3x_2+x_3-5x_4+4x_5&0.\end{array}\right.$

Неизвестные

оставляем в левой части, остальные переносим в правую часть:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{r@{\;=\;}l}x_1+x_2&x_3-2x_4+x_5,\\ -3x_2&-x_3+5x_4-4x_5.\end{array}\right.$

Положим ${x_3=1}$ , ${x_4=x_5=0}$ . Получим ${x_2=\frac13}$ , ${x_1=\frac23}$ . Первое решение из фундаментальной системы: ${x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ .

Положим ${x_3=x_5=0}$ , ${x_4=1}$ . Получим ${x_2=-\frac53}$ , ${x_1=-\frac13}$ . Второе решение из фундаментальной системы решений: ${x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ .

Положим ${x_3=x_4=0}$ , ${x_5=1}$ . Получим ${x_2=\frac43}$ , ${x_1=-\frac13}$ . Третье решение из фундаментальной системы решений: ${x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ . Фундаментальная система решений найдена. Общее решение имеет вид

$\displaystyle x=C_1x^{(1)}+C_2x^{(2)}+C_3x^{(3)}.$

Ответ: Фундаментальная система решений:
${x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}\frac23\\ \vphantom{\dfrac11}\frac13\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)}$ , ${x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}-\frac53\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$ , ${x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}\vphantom{\dfrac11}-\frac13\\ \vphantom{\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ , общее решение: ${\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)=C_1 \lef... ...frac11}-\frac13\\ \vphantom {\dfrac11}\frac43\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$ .

Замечание 15.7 Если решения, составляющие фундаментальную систему, умножить на любые ненулевые числа, то вновь полученные решения снова будут образовывать фундаментальную систему. Поэтому в предыдущем примере фундаментальную систему образуют и такие решения:
$\hat x^{(1)}=\left(\begin{array}{r}2\\ 1\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ , $\hat x^{(2)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ -5\\ 0\\ 3\\ 0\end{array}\right)$ , $\hat x^{(3)}=\left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ . Общее решение можно записать так: $\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)= C_1\left... ...d{array}\right)+C_3 \left(\begin{array}{r}-1\\ 4\\ 0\\ 0\\ 3\end{array}\right)$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Некоторые правила культурного программирования

Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства: Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тщательно продумайте алгоритм решения задачи. Порой выбор лучшего алгоритма позволяет кардинально повысить скорость вычислений и упростить программу (впрочем, одновременно это достигается далеко не всегда).

Используйте прежде всего возможности функционального программирования — из него родились основы языка программирования систем Mathematica. Математика примерывычислений интегралов

Разделяйте задачу на малые части и оформляйте их в виде законченных программных модулей — прежде всего функций.

Pie скупитесь на программные комментарии — чем их больше, тем понятнее программа и тем больше шансов, что она заинтересует пользователей и будет долго жить. Учтите, что ясность программы в большинстве случаев важнее скорости ее работы.

Тщательно готовьте сообщения об ошибках и диагностические сообщения, а также наименования программных модулей и описания их назначения.