Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Группы Алгебраические структуры

        Определение 16.1 Группой называется непустое множество $\mathfrak{G}$ , на котором задана некоторая операция, обладающая следующими свойствами:

для любых $\mathfrak{a},\,\mathfrak{b},\,\mathfrak{c}\in\mathfrak{G}$ выполнено
$\displaystyle (\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b})\propto\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\propto(\mathfrak{b}\propto\mathfrak{c})$
(свойство ассоциативности);
существует такой элемент $\mathfrak{e}$ , $\mathfrak{e}\in \mathfrak{G}$ , что для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , выполнено
$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\mathfrak{e}=\mathfrak{a}$
(существование единицы или нуля);
для любого элемента $\mathfrak{a}$ , $\mathfrak{a}\in \mathfrak{G}$ , существует такой элемент $\tilde\mathfrak{a}$ , $\tilde\mathfrak{a}\in\mathfrak{G}$ , что
$\displaystyle \mathfrak{a}\propto\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}$
(существование обратного элемента).

        Пример 16.2 Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество целых чисел. В качестве операции $\propto$ возьмем операцию сложения чисел. Тогда требования к операции записываются так:
$(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})+\mathfrak{c}=\mathfrak{a}+(\mathfrak{b}+\mathfrak{c})$ ;
существует такое число $\mathfrak{e}$ , что для любого числа $\mathfrak{a}$ выполнено ${\mathfrak{a}+\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ ;
для любого числа $\mathfrak{a}$ существует такое число $\tilde\mathfrak{a}$ , что ${\mathfrak{a}+\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что все три свойства для целых чисел выполнены, причем числом $\mathfrak{e}$ является число 0, а числом $\tilde\mathfrak{a}$ является число $-\mathfrak{a}$ . Таким образом, множество целых чисел с операцией сложения является группой. Обозначается оно обычно $\mathbb{Z}$ .
Множество рациональных чисел с операцией сложения и множество вещественных чисел с операцией сложения тоже являются группами. Предоставляем проверку этого факта читателю. Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел, которая в свою очередь является подгруппой группы вещественных чисел по сложению.
        Пример 16.3 Пусть $\mathfrak{G}$ -- множество положительных вещественных чисел. В качестве операции " $\propto$ " возьмем операцию обычного умножения. Тогда требования к операции запишутся так:
$(\mathfrak{a}\mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}(\mathfrak{b}\mathfrak{c})$ ;
существует такое число $\mathfrak{e}$ , что ${\mathfrak{a}\mathfrak{e}=\mathfrak{a}}$ для любого числа $\mathfrak{a}$ ;
для любого числа $\mathfrak{a}$ существует такое число $\tilde\mathfrak{a}$ , что ${\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .
Очевидно, что эти требования выполнены, причем ${\mathfrak{e}=1}$ , а ${\tilde \mathfrak{a}=\mathfrak{a}^{-1}}$ . Таким образом множество положительных чисел с операцией умножения является группой.
Множество вещественных чисел с операцией умножения группой не является. Действительно, если $\mathfrak{a}$ взять равным нулю, то нет такого числа $\tilde\mathfrak{a}$ , чтобы ${\mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=1}$ , так как ${0\cdot\tilde\mathfrak{a}=0}$ . Множество же вещественных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения является группой. Проверку этого факта предоставляем читателю.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Некоторые правила культурного программирования

Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства: Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тщательно продумайте алгоритм решения задачи. Порой выбор лучшего алгоритма позволяет кардинально повысить скорость вычислений и упростить программу (впрочем, одновременно это достигается далеко не всегда).
Используйте прежде всего возможности функционального программирования — из него родились основы языка программирования систем Mathematica. Математика примерывычислений интегралов

Примеры решения задач Геометрические приложения определенного интеграла Интегральное исчисление.

Разделяйте задачу на малые части и оформляйте их в виде законченных программных модулей — прежде всего функций.
Pie скупитесь на программные комментарии — чем их больше, тем понятнее программа и тем больше шансов, что она заинтересует пользователей и будет долго жить. Учтите, что ясность программы в большинстве случаев важнее скорости ее работы.
Тщательно готовьте сообщения об ошибках и диагностические сообщения, а также наименования программных модулей и описания их назначения.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра