Конспект лекций по математике Группы Алгебраические структурыпримеры

Конспект лекций по математике Кольца Группы Алгебраические структуры

Пример 16.4 Множество $\mathfrak{G}$ из примера 16.1 с операцией " $\propto$ " является группой. Проверка ассоциативности потребует просмотра 9 троек ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto\mathfrak{a}}$ , ${(\mathfrak{a}\propto\mathfrak{a})\propto \mathfrak{b}}$ и т.д. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет элемент $\mathfrak{a}$ . Обратные элементы: ${\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , ${\tilde\mathfrak{b}=\mathfrak{b}}$ .

Векторы на прямой, плоскости, в пространстве с операцией сложения также образуют группу.

Во всех разобранных примерах операция " $\propto$ " обладала свойством коммутативности: ${\mathfrak{a}\propto\mathfrak{b}=\mathfrak{b}\propto\mathfrak{a}}$ . Группа, в которой операция обладает таким свойством, называется коммутативной группой или абелевой группой по имени норвежского математика Н.Х.Абеля.

Если мы рассмотрим множество $\mathfrak{G}$ , состоящее из квадратных матриц порядка с ненулевым определителем и в качестве операции " $\propto$ " возьмем умножение матриц, то получим группу. Роль элемента $\mathfrak{e}$ выполняет единичная матрица , и для элемента $\mathfrak{a}$ , являющегося матрицей , элементом $\tilde\mathfrak{a}$ служит матрица $A^{-1}$ . В этой группе, как мы видели в разделе "Умножение матриц", операция умножения некоммутативна. Такие группы называются некоммутативными.

В коммутативных группах операцию обычно называют операцией сложения и обозначают " ", элемент $\mathfrak{e}$ называют нулем группы и обозначают "0", хотя этот элемент, вообще говоря, числом не является. Элемент $\tilde\mathfrak{a}$ называют противоположным элементу $\mathfrak{a}$ и обозначают " $-\mathfrak{a}$ ".

Если группа некоммутативная, то операцию называют умножением, $\mathfrak{e}$ называют единицей группы, а элемент $\tilde\mathfrak{a}$ -- обратным элементом к $\mathfrak{a}$ и обозначают $\mathfrak{a}^{-1}$ .

Исходя из требований к операции, данных в определении группы, можно доказать, что в любой группе элемент $\mathfrak{e}$ только один, что для любого элемента $\mathfrak{a}$ выполнено условие ${\mathfrak{a}\mathfrak{e}= \mathfrak{e}\mathfrak{a}=\mathfrak{a}}$ , что элемент $\tilde\mathfrak{a}$ для элемента $\mathfrak{a}$ определяется однозначно и что ${\tilde\mathfrak{a}\mathfrak{a}= \mathfrak{a}\tilde\mathfrak{a}=\mathfrak{e}}$ .

Теории групп посвящены обширные математические исследования. Они эффективно используются в различных областях математики. С помощью теории групп было, например, доказано, что корни многочлена степени выше четвертой нельзя выразить через конечную комбинацию элементарных функций от коэффициентов многочлена.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Некоторые правила культурного программирования

Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства: Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Тщательно продумайте алгоритм решения задачи. Порой выбор лучшего алгоритма позволяет кардинально повысить скорость вычислений и упростить программу (впрочем, одновременно это достигается далеко не всегда).

Используйте прежде всего возможности функционального программирования — из него родились основы языка программирования систем Mathematica. Математика примерывычислений интегралов

Разделяйте задачу на малые части и оформляйте их в виде законченных программных модулей — прежде всего функций.

Pie скупитесь на программные комментарии — чем их больше, тем понятнее программа и тем больше шансов, что она заинтересует пользователей и будет долго жить. Учтите, что ясность программы в большинстве случаев важнее скорости ее работы.

Тщательно готовьте сообщения об ошибках и диагностические сообщения, а также наименования программных модулей и описания их назначения.