дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Многочлен Тейлора


Итак, будем предполагать, что многочлен Тейлора мы ищем в виде

\begin{multline} P(x)= a_n(x-x_0)^n+a_{n-1}(x-x_0)^{n-1}+a_{n-2}(x-x_0)^{n-2}+\ldots+\\ +a_2(x-x_0)^2+a_1(x-x_0)+a_0 \end{multline}

при некоторых коэффициентах $ a_k$, пока не известных. Отыщем значения этих коэффициентов Тейлора $ a_k$ по значениям производных данной функции в точке $ x_0$.

Учтём требование к значению многочлена: $ P(x_0)=f(x_0)$. Подставив в равенство (Тейлор 1) $ x=x_0$, получим, что $ P(x_0)=a_0$, так как все остальные слагаемые обратятся в 0. Тем самым

$\displaystyle a_0=f(x_0).$

Учтём затем требование к значению первой производной многочлена: . Производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P'(x)= na_n(x-x_0)^{n-1}+(n-1)a_{n-1}(x-x_0)^{n-2}+(n-2)a_{n-2}(x-x_0)^{n-3}+\\ +\ldots+2a_2(x-x_0)+a_1. \end{multline}

Подставив в равенство (Тейлор 2) значение $ x=x_0$, получим, что $ P'(x_0)=a_1$, так как снова все остальные слагаемые обратятся в 0. Отсюда

$\displaystyle a_1=f'(x_0).$

Следующее требование -- к значению второй производной многочлена: $ {P''(x_0)=f''(x_0)}$. Вторая производная от $ P(x)$ равна

\begin{multline} P''(x)= n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}+(n-1)(n-2)a_{n-1}(x-x_0)^{n-3}+\\ +(n-2)(n-3)a_{n-2}(x-x_0)^{n-4}+\ldots+2a_2. \end{multline}

Снова подставив в равенство (Тейлор 3) значение $ x_0$, получим, что $ P''(x_0)=2a_2$, откуда

$\displaystyle a_2=\frac{1}{2}f''(x_0).$

Далее нетрудно сообразить, что получится $ P'''(x_0)=3\cdot2a_3=f'''(x_0)$, откуда

$\displaystyle a_3=\frac{1}{2\cdot3}f'''(x_0),$

и вообще,

$\displaystyle 84 a_k=\frac{1}{2\cdot3\cdot\ldots\cdot k}f^{(k)}(x_0),$   
 


при $ k=3,4,\dots,n$. Учитывая, что $ 0!=1$, $ 1!=1$, $ 2!=2$, $ 3!=2\cdot3$, ..., последнюю формулу можно записать в виде

$\displaystyle 85 a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(x_0),\; k=0,1,2,\dots,n.$   
 


Итак, мы получили, что многочлен Тейлора для функции $ f(x)$ в точке $ x_0$ имеет вид

$\displaystyle P(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\ldots+ \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$

 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Некоторые правила культурного программирования

Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства: Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Примеры решения задач Геометрические приложения определенного интеграла Интегральное исчисление.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра