дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Формула Тейлора для некоторых элементарных функций


Рассмотрим несколько важнейших элементарных функций и найдём для них многочлены Тейлора при $ x_0=0$.

1. Рассмотрим функцию $ f(x)=e^x$. Все её производные совпадают с ней: $ f^{(k)}(x)=e^x$, так что коэффициенты Тейлора в точке $ x_0=0$ равны

$\displaystyle a_k=\frac{1}{k!}f^{(k)}(0)=\frac{1}{k!}e^0=\frac{1}{k!},\; k=0,1,2,\dots,n.$

Поэтому формула Тейлора для экспоненты такова:

$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_n(x).$

2. Рассмотрим функцию $ f(x)=\sin x$. Её производные чередуются в таком порядке:

$\displaystyle f'(x)=\cos x,\; f''(x)=-\sin x,\; f'''(x)=-\cos x,\; f^{(4)}(x)=\sin x,$

а затем цикл повторяется. Поэтому при подстановке $ x_0=0$ также возникает повторение:

$\displaystyle f(0)=0,\;f'(0)=\cos 0=1,\;f''(0)=-\sin 0=0,\;f'''(0)=-\cos 0=-1,\; f^{(4)}(0)=\sin 0=0$

и т. д. Все производные с чётными номерами оказываются равными 0; производные с нечётными номерами $ n=2k-1$ равны 1 при $ n=1,5,9,\dots$, то есть при $ k=1,3,5,\dots$, и $ -1$ при $ n=3,7,11,\dots$, то есть при $ k=2,4,6,\dots$. Таким образом, $ f^{(2k-1)}(0)=(-1)^{k-1}$ при всех $ k\in\mathbb{N}$ и коэффициенты Тейлора равны

$\displaystyle a_n=\left\{\begin{array}{ll} 0,&\mbox{ при }n=2k, k=0,1,2,\dots\... ...{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!},&\mbox{ при }n=2k-1, k=1,2,3,\dots. \end{array}\right. $

Получаем формулу Тейлора для синуса:

$\displaystyle \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\ldots+ (-1)^{k-1}\dfrac{x^{2k-1}}{(2k-1)!}+R_{2k}(x).$

Заметим, что мы можем записать остаточный член $ R_{2k}(x)$ вместо $ R_{2k-1}(x)$ (как можно было бы подумать), поскольку можно считать, что слагаемое порядка $ 2k$, с коэффициентом, равным 0, тоже включено в многочлен Тейлора.

3. Для функции $ f(x)=\cos x$ производные также чередуются с циклом длины 4, как и для синуса. Значения в точке $ x_0=0$ имеют то же чередование:

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

$\displaystyle f(0)=\cos0=1,\;f'(0)=-\sin0=0,\;f''(0)=-\cos0=-1,\;f'''(0)=\sin0=0,$   
$\displaystyle f^{(4)}(0)=\cos0=1,\dots$   
 


Нетрудно видеть, что $ f^{(n)}(0)=0$ при $ n=2k-1$, $ k=1,2,3,\dots,$ и $ f^{(n)}(0)=(-1)^k$ при $ n=2k$, $ k=0,1,2,\dots$. Поэтому разложение косинуса по формуле Тейлора имеет вид

$\displaystyle \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\ldots+ (-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}+R_{2k+1}(x).$

Здесь мы также считаем, что последним в многочлене Тейлора выписано слагаемое, содержащее $ x^{2k+1}$ с нулевым коэффициентом.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Некоторые правила культурного программирования

Выше мы описали множество методов программирования на языке системы Mathematica. Попробуем сформулировать некоторые общие правила так называемого культурного программирования с учетом специфики систем Mathematica, позволяющие создавать надежные и эффективные программные средства: Предел функции Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Примеры решения задач Геометрические приложения определенного интеграла Интегральное исчисление.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра