дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования


Используя оценку остаточного члена в форме Лагранжа, можно провести анализ погрешности в формулах приближённого дифференцирования, предполагая шаг $ h$ малым.

Пусть функция $ f(x)$ разложена по формуле Тейлора, с остаточным членом в форме Лагранжа, в точке $ x_0$. Положим $ x=x_0+h$, тогда

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h^2.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+{\varepsilon}(x_0;h),$

где

$\displaystyle {\varepsilon}(x_0;h)=\frac{f''(x_{{\theta}})}{2}h$ --

погрешность формулы приближённого дифференцирования, получающаяся при замене $ f'(x_0)$ на разностную производную $ \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$.

Следовательно,

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{m_2}{2}h,$

где

$\displaystyle m_2=\max_{x\in[x_0;x_0+h]}\vert f''(x)\vert.$

Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Как правило, заранее известна более грубая оценка для $ f''$ на некотором отрезке $ [a;b]$, включающем в себя $ [x_0;x_0+h]$:

$\displaystyle M_2=\max_{x\in[a;b]}\vert f''(x)\vert\geqslant m_2,$

и $ M_2$ не зависит от $ x_0$ и $ h$. Тогда

$\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert\leqslant \frac{M_2}{2}h;$

из этой оценки и определяют погрешность вычислений при данном шаге $ h$.

Аналогично, можно получить оценку погрешности для разностной производной вида

$\displaystyle \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}.$

Ошибку $ {\varepsilon}(x_0;h)$ при замене $ f'(x_0)$ на это отношение можно оценить исходя из разложения $ f(x)$ в точке $ x_0$ по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа порядка 3:

$\displaystyle f(x_0+h)=f(x_0)+f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}}\in(x_0;x_0+h)$. Подставляя сюда $ -h$ вместо $ h$, получаем:

$\displaystyle f(x_0-h)=f(x_0)-f'(x_0)h+\frac{f''(x_0)}{2}h^2- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3,$

где $ x_{{\theta}_1}\in(x_0-h;x_0)$. Вычтем из первой формулы вторую:

$\displaystyle f(x_0+h)-f(x_0-h)=f'(x_0)\cdot2h+ \frac{f'''(x_{{\theta}})}{6}h^3- \frac{f'''(x_{{\theta}_1})}{6}h^3.$

Отсюда

$\displaystyle f'(x_0)=\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}-\dfrac{1}{12}\left( f'''(x_{{\theta}})- f'''(x_{{\theta}_1})\right)h^2.$

Если теперь предположить, что

$\displaystyle \max_{x\in[a;b]}\vert f'''(x)\vert=M_3,$

то оценка погрешности получится такая:

        Упражнение 6.4   Исследуйте приближённую формулу $\displaystyle \vert{\varepsilon}(x_0;h)\vert=\vert f'(x_0)-\dfrac{f(x_0+h)-f(x_... ...)\vert+\vert f'''(x_{{\theta}_1})\vert\right)h^2\leqslant \dfrac{1}{6}M_3h^2.$

$\displaystyle f'(x_0)\approx\dfrac{f(x_0-2h)-8f(x_0-h)+8f(x_0+h)-f(x_0+2h)}{12h}.$

Какая степень приращения $ h$ будет множителем в оценке ошибки $ {\varepsilon}(x_0;h)$? Оценки каких производных войдут в формулу для оценки ошибки?     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра