дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Возрастание и убывание функции

Возрастание и убывание дифференцируемой функции связано со знаком её производной. Напомним, что функция $ f(x)$ называется возрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если для любых двух точек $ x_1,x_2\in(a;b)$ из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)<f(x_2)$; убывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)>f(x_2)$; невозрастающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\geqslant f(x_2)$, и неубывающей на интервале $ (a;b)\sbs\mathcal{D}(f)$, если из неравенства $ x_1<x_2$ следует, что $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$.

Рис.7.15.Графики возрастающей, убывающей, невозрастающей и неубывающей функций
Производная функции Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, Такое поведение называется многозадачностью (multitasking) аксонометрические проекции

Очевидно, что функция $ f(x)$ возрастает тогда и только тогда, когда убывает функция $ g(x)=-f(x)$; аналогичное утверждение связывает неубывающую функцию с невозрастающей.

Рис.7.16.Графики функций $ f(x)$ и $ g(x)=-f(x)$

        Теорема 7.2   Пусть функция $ f(x)$ дифференцируема на интервале $ (a;b)$ и $ {f'(x)>0}$ при всех $ x\in(a;b)$. Тогда $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$. Если же $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
Аналогично, если $ f'(x)<0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ убывает на $ (a;b)$, а если $ f'(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, то $ f(x)$ не возрастает на $ (a;b)$.

 

        Доказательство.     В силу предыдущего замечания, теорему достаточно доказывать только для случаев $ f'(x)>0$ и $ f'(x)\geqslant 0$. Пусть $ f'(x)>0$ при всех $ x\in(a;b)$ и $ x_1,x_2\in(a;b)$, $ x_1<x_2$. Применим к отрезку $ [x_1;x_2]$ формулу конечных приращений:

 

$\displaystyle f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1),$

 

где $ c\in(a;b)$. В правой части $ f'(c)>0$ и $ x_2-x_1>0$, так что $ f(x_2)-f(x_1)>0$, откуда $ f(x_1)<f(x_2)$, что означает возрастание функции.

Точно так же, если $ f'(x)\geqslant 0$, то получаем $ f(x_2)-f(x_1)\geqslant 0$, откуда $ f(x_1)\leqslant f(x_2)$, что означает неубывание функции.     

Имеет место и утверждение, "почти обратное" к предыдущей теореме:

        Теорема 7.3   Если дифференцируемая функция не убывает на интервале $ (a;b)$, то $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$; если же функция не возрастает на $ (a;b)$, то $ f'(x)\leqslant 0$ при $ x\in(a;b)$.

 

        Доказательство.     Фиксируем точку $ x_0\in(a;b)$ и рассмотрим предел, который равен производной:

 

$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

 

При достаточно малых $ h>0$ точка $ x_0+h$ попадёт в интервал $ (a;b)$, при этом $ x_0+h>x_0$, откуда $ f(x_0+h)\geqslant f(x_0)$. Значит, числитель неотрицателен, а знаменатель положителен, и дробь неотрицательна. По теореме о переходе к пределу в неравенстве, получаем $ f'(x_0)\geqslant 0$, что и требовалось получить.

Вторая часть утверждения теоремы доказывается аналогично.     

Заметим, что усилить утверждение теоремы нельзя: из того, что функция $ f(x)$ возрастает на $ (a;b)$ не следует строгого неравенства $ f'(x)>0$ для производной. Действительно, в этом нас убеждает простой пример:

     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра