Конспект лекций по математике Аналитическая геометрия Выпуклость функции Примеры

Пример 7.28 Рассмотрим функцию $f(x)=\vert x\vert$ . Эта функция выпукла на любом интервале оси . Действительно, если интервал не содержит точки 0, то графики и $\ell(x)$ на таком интервале совпадают, откуда следует, что неравенство (7.4) выполнено и функция выпукла. (Заметим, что на таком интервале верно и неравенство (7.5), так что одновременно и выпукла, и вогнута на таком интервале.) Если же точка 0 лежит в интервале , то и , и тот факт, что хорда лежит выше графика, геометрически очевиден.

Рис.7.31.Хорда лежит выше графика $y=\vert x\vert$

Пример 7.29 Рассмотрим функцию ; её график -- парабола .

Рис.7.32.Функция -- выпуклая

Мы привыкли изображать параболу именно так, что очевидно: хорда идёт выше графика на любом интервале . Подтвердим теперь это свойство формальной выкладкой. Имеем:

$\displaystyle f(x_{{\alpha}})=({\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0)^2= {\alpha}^2x_1^2+2{\alpha}(1-{\alpha})x_1x_0+(1-{\alpha})^2x_0^2\leqslant$
$\displaystyle \leqslant {\alpha}^2x_1^2+{\alpha}(1-{\alpha})(x_1^2+x_0^2)+(1-{\alpha})^2x_0^2= {\alpha}x_1^2+(1-{\alpha})x_0^2=\ell(x_{{\alpha}}).$

Здесь мы использовали известное неравенство: $2x_1x_0\leqslant x_1^2+x_0^2$ при всех $x_1,x_0\in\mathbb{R}$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник
Что такое визуально-ориентированное программирование
Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике
Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра