дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Аналитическая геометрия Выпуклость функции


        Теорема 7.9   Пусть функция $ f(x)$ определена на интервале $ (a;b)$ и $ x^*$ -- некоторая точка этого интервала. При всех $ x\ne x^*,\; x\in(a;b)$ определено разностное отношение -- функция
$\displaystyle t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}.$
Тогда функция $ f$ выпукла на интервале $ (a;b)$ в том и только том случае, когда функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.
        Замечание 7.7   Функция $ t_{x^*}(x)$ равна тангенсу угла наклона хорды, одним из концов которой служит фиксированная точка $ (x^*;f(x^*))$, а вторым концом -- переменная точка графика $ (x;f(x))$. Тем самым, теорема означает, что у выпуклых функций угловые коэффициенты хорд графика не убывают, где бы ни был фиксирован один из концов хорды.
Рис.7.33.Угловой коэффициент хорды с фиксированным концом возрастает, если функция выпукла

Заметим также, что функция $ t_{x^*}(x)$ имеет следующее свойство:

Действительно,
$\displaystyle t_y(x)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}=\dfrac{f(y)-f(x)}{y-x}=t_x(y).$   

    
        Доказательство теоремы 7.9.     Выберем любые две точки $ x_1,x_2\in(a;b)$. Предположим, что $ x^*<x_1<x_2$ (случаи иного расположения точек $ x^*,x_1,x_2$ рассматриваются аналогично). Поскольку $ x_1\in(x^*;x_2)$, то $ x_1={\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2$ при некотором $ {\alpha}\in(0;1)$. Нетрудно видеть, что тогда $ {\alpha}=\dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}$ и $ 1-{\alpha}=\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}$. Поэтому из выпуклости функции $ f(x)$ следует, что
$\displaystyle f(x_1)=f({\alpha}x^*+(1-{\alpha})x_2)\leqslant \dfrac{x_2-x_1}{x_2-x^*}f(x^*)+\dfrac{x_1-x^*}{x_2-x^*}f(x_2).$
Умножая на $ x_2-x^*>0$, получаем:
$\displaystyle (x_2-x^*)f(x_1)\leqslant (x_2-x_1)f(x^*)+(x_1-x^*)f(x_1).$
Теперь вычтем $ (x_2-x^*)f(x^*)$ из обеих частей неравенства. Получим, после раскрытия скобок в правой части и приведения подобных членов:
$\displaystyle (x_2-x^*)(f(x_1)-f(x^*))\leqslant (x_1-x^*)(f(x_2)-f(x^*)).$
Теперь разделим обе части неравенства на $ x_1-x^*>0$ и $ x_2-x^*>0$ и получим:
$\displaystyle \dfrac{f(x_1)-f(x^*)}{x_1-x^*}\leqslant \dfrac{f(x_2)-f(x^*)}{x_2-x^*},$
то есть
$\displaystyle t_{x^*}(x_1)\leqslant t_{x^*}(x_2).$
Это означает, что функция $ t_{x^*}$ -- неубывающая.
Доказательство того, что из неубывания функции $ t_{x^*}$ следует выпуклость функции $ f(x)$, можно провести, если проделать все преобразования в обратном порядке.     
        Замечание 7.8   Очевидно, что аналогично доказывается следующее утверждение:
функция $ f(x)$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда при любом $ x^*\in(a;b)$ функция $ t_{x^*}(x)$ не возрастает на множестве $ (a;x^*)\cup(x^*;b)$.     
Доказанная теорема содержит хотя и важный, но всё же вспомогательный результат. На её основании мы получим следующее утверждение, которое уже гораздо удобнее применять на практике для исследования выпуклости.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра