дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Выпуклость функции Функции графики примеры

  Пусть функция $ f(x)$ имеет на $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$.
        Доказательство.     Пусть $ f(x)$ -- выпуклая функция. Возьмём точки $ a',b',x_1,x_2$ на интервале $ (a;b)$ так, чтобы они следовали в таком порядке: $ a<a'<x_1<x_2<b'<b$. По предыдущей теореме, функции $ t_{x_1}$ и $ t_{x_2}$ не убывают. Пользуясь также свойством (7.6), получаем цепочку:
$\displaystyle t_{a'}(x_1)=t_{x_1}(a')\leqslant t_{x_1}(x_2)=t_{x_2}(x_1)\leqslant t_{x_2}(b')= t_{b'}(x_2).$
В итоге получили, что $ t_{a'}(x_1)=t_{b'}(x_2)$, или
$\displaystyle \dfrac{f(a')-f(x_1)}{a'-x_1}\leqslant \dfrac{f(b')-f(x_2)}{b'-x_2}.$
Перейдем в левой части к пределу при $ a'\to x_1-$, а затем в правой части при $ b'\to x_2+$. Так как, по предположению, производная в точках $ x_1$ и $ x_2$ существует, то односторонние пределы существуют и равны производным в соответствующих точках, то есть $ {f'(x_1)\leqslant f'(x_2)}$. Ввиду того, что точки $ x_1$ и $ {x_2>x_1}$ можно было выбирать произвольно, это означает, что $ f'(x)$ не убывает на $ {(a;b)}$.
Пусть теперь производная $ f'(x)$ -- неубывающая функция. Фиксируем точку $ {x^*\in(a;b)}$ и найдём производную функции $ t_{x^*}(x)=\dfrac{f(x)-f(x^*)}{x-x^*}$ при $ x\in(a;x^*)\cup(x^*;b)$. Она равна
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)(x-x^*)-(f(x)-f(x^*))}{(x-x^*)^2}.$
По формуле конечных приращений мы можем представить $ f(x)-f(x^*)$ в виде
$\displaystyle f(x)-f(x^*)=f'(c)(x-x^*),$
где $ c$ -- некоторая точка, лежащая между $ x$ и $ x^*$. Заметим, что при этом знак разности $ x-c$ -- тот же, что у разности $ x-x^*$. Получаем, что
$\displaystyle t'_{x^*}(x)=\dfrac{f'(x)-f'(c)}{x-x^*}.$
Так как $ f'$ -- неубывающая функция, то $ f'(x)-f'(c)\geqslant 0$ при $ x-c>0$ и, следовательно, при $ x-x^*>0$ и $ f'(x)-f'(c)\leqslant 0$ при $ x-c<0$ и, следовательно, при $ x-x^*<0$. В любом случае отношение неотрицательно, то есть $ t'_{x^*}(x)\geqslant 0$. По теореме 7.2 отсюда следует, что функция $ t_{x^*}(x)$ не убывает, а по теореме 7.9 -- что функция $ f(x)$ выпукла.     
  Разумеется, верно следующее утверждение, аналогичное доказанной теореме:
дифференцируемая функция $ f$ вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её производная $ f'(x)$ не возрастает.     
Если функция имеет во всех точках интервала вторую производную $ f''(x)$, то для исследования выпуклости можно воспользоваться следующим утверждением, которое вытекает из доказанной теоремы.
  Пусть на интервале $ (a;b)$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x)$. Функция $ f$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и вогнута тогда и только тогда, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$.
        Доказательство.     Производная $ f'(x)$ не убывает на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$, и не возрастает в на $ (a;b)$ в том и только том случае, когда $ f''(x)\leqslant 0$ при всех $ x\in(a;b)$. Поэтому утверждение теоремы сразу следует из теоремы 7.10 и замечания 7.9.     
Именно эту теорему чаще всего применяют для исследования выпуклости и вогнутости функции на заданном интервале, а также для нахождения интервалов выпуклости и интервалов вогнутости данной функции.
Рис.7.34.$ f''(x)\geqslant 0$ на интервалах выпуклости и $ f''(x)\leqslant 0$ на интервалах вогнутости

        Пример 7.30   Рассмотрим функцию $ f(x)=\vert x\vert^3$, то есть
$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x^3,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -x^3,&\mbox{ при }x<0. \end{array}\right.$
Для этой функции
$\displaystyle f'(x)=\left\{\begin{array}{ll} 3x^2,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -3x^2,&\mbox{ при }x<0 \end{array}\right.$
(проверьте отдельно, что производная при $ x=0$ существует и равна 0) и
$\displaystyle f''(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6x,&\mbox{ при }x\geqslant 0;\\ -6x,&\mbox{ при }x<0, \end{array}\right.$
то есть $ f''(x)=6\vert x\vert$. (Также проверьте, что производная в точке 0 существует и равна 0.) Итак, $ f''(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; отсюда следует, что функция $ f(x)$ выпукла на всей оси.     

Рис.7.35.Функция $ f(x)=\vert x\vert^3$ выпукла на всей оси

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра