дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Выпуклость функции Функции графики примеры


  Пример 7.31   Рассмотрим функцию примера 7.24: $ f(x)=x^4-2x^2$. Её производная равна $ {f'(x)=4x^3-4x}$; вторая производная $ f''(x)=12x^2-4$. Чтобы найти интервалы выпуклости, решим неравенство $ f''(x)\geqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\geqslant 0$. Решением является объединение лучей: $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3}]\cup[\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$. Значит, на интервалах $ (-\infty;-\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ и $ (\dfrac{\sqrt{3}}{3};+\infty)$ функция $ f(x)$ выпукла.
Для нахождения интервала вогнутости нужно решить неравенство $ f''(x)\leqslant 0$, то есть $ 12x^2-4\leqslant 0$. Решением является отрезок $ [-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3}]$. Значит, на интервале $ (-\dfrac{\sqrt{3}}{3};\dfrac{\sqrt{3}}{3})$ функция $ f(x)$ вогнута.     

Рис.7.36.Интервалы выпуклости и вогнутости функции $ f(x)=x^4-2x^2$

Выпуклые функции обладают следующим весьма важным свойством: они могут иметь не более одного локального минимума на интервале выпуклости. А именно, верна следующая теорема.
        Теорема 7.12   Пусть $ f(x)$ -- выпуклая на $ (a;b)$ функция и $ x_0\in(a;b)$ -- точка локального минимума функции $ f$. Тогда $ \min\limits_{x\in(a;b)}f(x)=f(x_0).$
        Замечание 7.10   Теорема не означает, что функция не может иметь много точек локального минимума, однако утверждает, что во всех таких точках выпуклая функция принимает одно и то же значение $ f_{\min}=\min\limits_{x\in(a;b)}f(x).$     
        Доказательство теоремы.     Пусть $ x_0$ и $ x_1$ -- две различные точки локального минимума функции $ f(x)$, причём $ x_0<x_1$ и $ f(x_0)>f(x_1)$ (случай $ f(x_0)<f(x_1)$ разбирается аналогично). Положим $ x_{{\alpha}}={\alpha}x_1+(1-{\alpha})x_0$ и рассмотрим линейную функцию $ \ell(x)$, на графике которой лежит хорда, соединяющая точки $ (x_0;f(x_0))$ и $ (x_1;f(x_1))$. Так как функция $ f(x)$ выпукла, то $ f(x_{{\alpha}})\leqslant \ell(x_{{\alpha}})$ при всех $ {\alpha}\in[0;1]$, то есть при всех $ x_{{\alpha}}\in[x_0;x_1]$. Это неравенство верно, в том числе, и при любом $ x=x_{{\alpha}}$ из некоторой правой окрестности точки $ x_0$, то есть при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})\sbs[x_0;x_1]$, $ 0<{\delta}\leqslant x_1-x_0$. Тем самым получаем для таких $ x$:
$\displaystyle f(x)\leqslant \ell(x)<f(x_0)=\ell(x_0).$
Однако это противоречит тому, что $ x_0$ -- точка локального минимума (из того, что $ x_0$ -- точка локального минимума, следует, что при достаточно малом $ {\delta}>0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$ имеет место неравенство $ f(x)\geqslant f(x_0)$).
Значит, предположение о том, что $ f(x_0)>f(x_1)$, не может быть верным. Точно так же доказывается, что неверно и предположение о том, что $ f(x_0)<f(x_1)$. Следовательно, $ f(x_0)=f(x_1)$, то есть во всех точках локального экстремума (если их не одна) функция $ f(x)$ принимает одно и то же значение.     
Тем самым, если о функции $ f(x)$ известно, что она выпукла, и мы нашли некоторую точку локального минимума $ x_0$, то значение в этой точке -- это минимальное значение функции на всём рассматриваемом интервале: $ f_{\min}=f(x_0)$. Если нас интересует лишь это минимальное значение, а не полный набор точек минимума, то мы можем других точек локального минимума не искать.
        Замечание 7.11   Свойство, аналогичное доказанной теореме, верно и для максимумов вогнутых функций:
если $ f$ -- вогнутая функция на интервале $ (a;b)$ и $ x_0,x_1\in(a;b)$ -- точки локального максимума, то
$\displaystyle f(x_0)=f(x_1)=\max_{x\in(a;b)}f(x)=f_{\max}.$
Для доказательства достаточно вспомнить, что $ g=-f$ -- выпуклая функция и что $ \min(-f)=-\max f$.     
        Замечание 7.12   Теорема 7.11 проясняет тот факт, что условие $ f''(x_0)>0$ достаточно для наличия локального минимума в стационарной точке $ x_0$ функции $ f$. Действительно, из условия $ f''(x)>0$ следует, что функция $ f(x)$ выпукла, то есть её график $ y=f(x)$ "провисает вниз" в окрестности точки $ x_0$, в которой график имеет горизонтальную касательную.
Рис.7.37.Выпуклость функции в окрестности точки минимума

Аналогично, график гладкой функции имеет выпуклость вверх в окрестности точки локального максимума. Поэтому неравенство $ f''(x_0)<0$ даёт достаточное условие локального максимума.
Рис.7.38.Вогнутость функции в окрестности точки максимума

    
Изучим теперь связь выпуклости и вогнутости функции $ f(x)$ с взаимным расположением графика функции и касательных, проведённых к этому графику.
       

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра