дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Выпуклость функции Функции графики примеры

 
 Теорема 7.13   Пусть функция $ f(x)$ имеет на интервале $ (a;b)$ производную $ f'(x)$. Функция $ f(x)$ выпукла на $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда график $ y=f(x)$ лежит (при $ x\in(a;b)$) не ниже любой касательной $ y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$, проведённой при любом $ x_0\in(a;b)$, то есть выполняется неравенство
$\displaystyle f(x)\geqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.

Рис.7.39.График выпуклой функции идёт не ниже любой своей касательной

        Доказательство.     Применяя формулу конечных приращений, получаем:
$\displaystyle (f(x)-f(x_0))-f'(x_0)(x-x_0)=f'(c)(x-x_0)-f'(x_0)(x-x_0)= (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0),$
где $ c$ лежит между $ x$ и $ x_0$. Но по теореме 7.10 производная выпуклой функции не убывает, так что $ f'(c)-f'(x_0)\geqslant 0$ при $ x-x_0>0$ и $ f'(c)-f'(x_0)\leqslant 0$ при $ x-x_0<0$. В любом случае получаем, что произведение $ (f'(c)-f'(x_0))(x-x_0)$ неотрицательно, откуда $ f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)\geqslant 0$. Отсюда следует неравенство из утверждения теоремы.     
        Замечание 7.13   Очевидно, что для вогнутых функций верно аналогичное утверждение:
дифференцируемая функция вогнута на интервале $ (a;b)$ тогда и только тогда, когда её график идёт не выше любой касательной:
$\displaystyle f(x)\leqslant f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$
при всех $ x,x_0\in(a;b)$.     

Рис.7.40.График вогнутой функции идёт не выше любой своей касательной

        Определение 7.6   Точкой перегиба функции $ f(x)$ называется такая точка $ x_0$, которая разделяет два интервала $ (a;x_0)$ и $ (x_0;b)$, на одном из которых функция является выпуклой, а на другом -- вогнутой.     

Рис.7.41.Точка перегиба разделяет интервалы с разным направлением выпуклости

В случае, если вторая производная $ f''(x)$ непрерывна, в точке перегиба $ x_0$ непременно должно выполняться равенство $ f''(x_0)=0$, поскольку, согласно теореме 7.11, $ f''(x)$ должна менять знак при переходе через точку $ x_0$. Верно даже несколько более сильное утверждение:
        Теорема 7.14   Пусть $ x_0$ -- точка перегиба функции $ f(x)$, причём существует $ f''(x_0)$. Тогда $ f''(x_0)=0$.
        Доказательство.     Из существования $ f''(x_0)$ следует, что $ f'(x)$ существует при $ x$ из некоторого интервала $ (x_0-{\delta};x_0+{\delta})$, окружающего точку $ x_0$. По предположению, при достаточно малом $ {\delta}>0$, на интервалах $ (x_0-{\delta};x_0)$ и $ (x_0;x_0+{\delta})$ направление выпуклости функции разное; пусть для определённости $ f(x)$ выпукла на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и вогнута на $ (x_0;x_0+{\delta})$. Тогда функция $ f'(x)$ не убывает на $ (x_0-{\delta};x_0)$ и не возрастает на $ (x_0;x_0+{\delta})$, согласно теореме 7.10 и замечанию 7.9. Значит, $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\geqslant 0$ при $ x\in(x_0-{\delta};x_0)$ и $ \dfrac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}\leqslant 0$ при $ x\in(x_0;x_0+{\delta})$. Переходя в этих двух неравенствах к пределу при базе $ x\to x_0-$ и $ x\to x_0+$ соответственно и замечая, что оба предела равны $ f''(x_0)$, получаем, что одновременно $ f''(x_0)\geqslant 0$ и $ f''(x_0)\leqslant 0$. Значит, $ f''(x_0)=0$, что и требовалось доказать.     
Заметим однако, что не любая точка $ x_0$, такая что $ f''(x_0)=0$, обязана быть точкой перегиба: при переходе через такую точку функция $ f''(x)$ может и не сменить знак, тогда перегиба в точке $ x_0$ нет.
Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция порно видео Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра