дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Примеры исследования функций и построения графиков


     Пример 7.40   Исследуем функцию $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$ и построим её график.
1). Поскольку знаменатель положителен при всех $ x$, область определения функции -- вся ось $ Ox$.
2). Функция $ f(x)$ -- нечётная, поскольку при смене знака $ x$ числитель меняет знак, а знаменатель остаётся без изменения, откуда $ f(-x)=-f(x)$. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.
Периодической функция не является.
3). Поскольку область определения этой элементарной функции -- вся вещественная ось, вертикальных асимптот график не имеет.
4). Найдём наклонные асимптоты при $ x\to\pm\infty$ в виде $ y=kx+b$. Имеем:
$\displaystyle k=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^2}{x^2+1}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{1}{1+0}=1;$
$\displaystyle b=\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]= \lim_{x\to\pm\infty}[\dfrac{x^3... ...}= \lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}=\dfrac{0}{1+0}=0.$
Таким образом, асимптотой как при $ x\to-\infty$, так и при $ x\to+\infty$ служит прямая $ y=1x+0=x$.
5). Найдём точки пересечения с осями координат. Имеем: $ f(0)=0$, причём $ x=0$ -- единственное решение уравнения $ f(x)=0$. Значит, график $ y=f(x)$ пересекает сразу и ось $ Ox$, и ось $ Oy$ в начале координат.
Очевидно, что $ f(x)>0$ при $ x>0$ и $ f(x)<0$ при $ x<0$.
6). Найдём производную:
$\displaystyle f'(x)=\dfrac{3x^2(x^2+1)-x^3\cdot2x}{(x^2+1)^2}= \dfrac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}= \dfrac{x^2(x^2+3)}{(x^2+1)^2}.$
Очевидно, что $ f'(x)\geqslant 0$ при всех $ x\in\mathbb{R}$; единственная точка, в которой $ f'(x)=0$ -- это $ x=0$. Значит, функция $ f(x)$ возрастает на всей оси $ Ox$, а в стационарной точке $ x=0$ имеет горизонтальную касательную.
7). Найдём вторую производную:
$\displaystyle f''(x)=\dfrac{(4x^3+6x)(x^2+1)^2-(x^4+3x^2)\cdot2(x^2+1)\cdot2x}{(x^2+1)^4}= \dfrac{2x(3-x^2)}{(x^2+1)^3}.$
Знаменатель этой дроби положителен при всех $ x$. Числитель имеет корни $ x=0$ и $ x=\pm\sqrt{3}$, при этом $ f''(x)>0$ на интервалах $ (-\infty;-\sqrt{3})$ и $ (0;\sqrt{3})$ -- на этих интервалах функция выпукла. На интервалах $ (-\sqrt{3};0)$ и $ (\sqrt{3};+\infty)$ выполняется обратное неравенство $ f''(x)<0$, здесь функция вогнута. Все три точки, в которых $ f''(x)=0$, то есть точки $ -\sqrt{3},\;0,\;\sqrt{3}$, являются точками перегиба.
8). Теперь мы можем построить график с учётом всех предыдущих пунктов исследования функции. График имеет такой вид:
Рис.7.47.График функции $ f(x)=\dfrac{x^3}{x^2+1}$

    
     

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра