дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Примеры исследования функций и построения графиков


    Пример 7.42   Исследуем функцию $ f(x)=(x^2-2x)e^x$ и построим её график.

1). Ясно, что $ \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$, поскольку оба сомножителя в выражении $ f(x)$ определены при любом $ x$. Область значений $ \mathcal{E}(f)$ найдём после того, как отыщем локальные экстремумы функции.

2). Функция не является ни чётной, ни нечётной; не является она и периодической.

3). Область определения не имеет граничных точек, значит, нет и вертикальных асимптот графика.

4). Будем искать наклонные асимптоты в виде $ y=kx+b$. Коэффициент $ k$ найдём по формуле $ k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$: при $ x\to+\infty$ имеем

$\displaystyle k=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to+\infty}(x-2)e^x=+\infty,$

так что при $ x\to+\infty$ асимптоты нет, причём функция $ f(x)$ стремится к $ +\infty$ при $ {x\to+\infty}$.

При $ x\to-\infty$ имеем:

$\displaystyle k=\lim_{x\to-\infty}\dfrac{(x^2-2x)e^x}{x}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x-2}{e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{-e^{-x}}=0$

(для раскрытия неопределённости вида $ [\frac{\infty}{\infty}]$ мы применили правило Лопиталя). Теперь найдём значение $ b$ по формуле $ b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]$. Имеем:

$\displaystyle b=\lim\limits_{x\to-\infty}[f(x)-0x]= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{x... ...\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x-2}{-e^{-x}}= \lim_{x\to-\infty}\dfrac{2}{e^{-x}}=0$

(здесь мы применили правило Лопиталя два раза подряд). Таким образом, $ k=0$ и $ b=0$, так что при $ x\to-\infty$ асимптота имеет уравнение $ y=0$, то есть совпадает с осью $ Ox$.

5). Точка пересечения с осью $ Oy$ равна $ f(0)=0$. Заодно нашли одну точку пересечения с осью $ Ox$. Чтобы найти все точки пересечения графика с осью $ Ox$, решаем уравнение $ (x^2-2x)e^x=0$. Поскольку $ e^x\ne0$, решаем уравнение $ x^2-2x=x(x-2)=0$, откуда получаем два корня: $ x=0$ и $ x=2$. Так как точек разрыва нет, то имеем три интервала знакопостоянства функции: $ (-\infty;0)$, $ (0;2)$ и $ (2;+\infty)$. Знак функции определяется множителем $ x^2-2x$, поскольку $ e^x>0$ при всех $ x$. Значит, $ f(x)>0$ при $ x\in(-\infty;0)$ и при $ x\in(2;+\infty)$ и $ f(x)<0$ при $ x\in(0;2)$.

6). Вычислим производную:

$\displaystyle f'(x)=(x^2-2x)e^x+(2x-2)e^x=(x^2-2)e^x.$

Интервалы возрастания задаются неравенством $ f'(x)>0$, то есть, с учётом того, что $ e^x>0$, неравенством $ x^2-2>0$. Решением этого неравенства служит множество $ (-\infty;-\sqrt{2})\cup(\sqrt{2};+\infty).$ На этих двух интервалах функция возрастает. Легко видеть, что на интервале $ (-\sqrt{2};\sqrt{2})$ выполняется неравенство $ f'(x)<0$, следовательно, это интервал убывания функции. В точке $ -\sqrt{2}$ возрастание сменяется убыванием, значит, точка $ -\sqrt{2}$ -- точка локального максимума. Значение функции в этой точке равно

$\displaystyle f_{\max}=f(-\sqrt{2})=(2+2\sqrt{2})e^{-\sqrt{2}}\approx1.17.$

В точке $ \sqrt{2}$ убывание сменяется возрастанием, значит, точка $ \sqrt{2}$ -- точка локального минимума функции. Значение функции в точке минимума таково:

$\displaystyle f_{\min}=f(\sqrt{2})=(2-2\sqrt{2})e^{\sqrt{2}}\approx-3.41.$

Теперь мы можем примерно представить, как идёт график функции:

Рис.7.50.Эскиз графика функции $ f(x)$
 

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Что такое визуально-ориентированное программирование

Под визуально-ориентированным программированием обычно понимается автоматическая генерация кодов программ на некотором языке программирования при активизации различных графических объектов — чаще всего кнопок с наглядным изображением программируемых действий или с надписями, указывающими на-такие действия. Примеры решения задач Нахождение площади криволинейного сектора Интегральное исчисление. Аналитическая геометрия в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая линия может быть определена как совокупность точек, координаты которых в некоторой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют уравнению Производная и дифференциал. Исследование функций. Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Mathematica изначально реализует визуально-ориентированное программирование с помощью палитр, содержащих математические операторы и символы. Однако язык программирования системы поддерживает возможность создания таких панелей для произвольных программных модулей. Целый ряд документов, готовящих средства визуально-ориентированного программирования, включен в справочную систему и дает наглядное представление о технике программирования в этой области.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра