дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Базис и размерность пространства Курс лекций

 

 Теорема 18.1   В линейном пространстве любые два базиса содержат одинаковое число векторов.     

Доказательство теоремы мы приводить не будем. Желающие могут найти его в любом учебнике по линейной алгебре, например в [1].

        Определение 18.3   Линейное пространство $ L$ , в котором существует базис, состоящий из $ n$ векторов, называется $ n$ -мерным линейным или векторным пространством. Число $ n$ называется размерностью пространства и обозначается $ {\dim L}$ . Линейное пространство, в котором не существует базис, называется бесконечномерным.         

Примером бесконечномерного пространства является пространство всех многочленов с вещественными коэффициентами. Как показано в  примере 18.2 в этом пространстве базис отсутствует.

        Предложение 18.1   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, имеет рамерность $ n$ .

        Доказательство.     Возьмем систему векторов

$\displaystyle e_1=\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),\q... ...ght),\ldots ,\,e_n=\left(\begin{array}{r}0\\ 0\\ \vdots\\ 1\end{array}\right).$

Покажем, что эта система линейно независима. Составим линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:

$\displaystyle {\alpha}_1e_1+{\alpha}_2e_2+\ldots+{\alpha}_ne_n=0.$

Преобразуем левую часть:

$\displaystyle {\alpha}_1\left(\begin{array}{r}1\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\rig... ...begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right).$

Следовательно,

$\displaystyle \left(\begin{array}{c}{\alpha}_1\\ {\alpha}_2\\ \vdots\\ {\alpha}_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ \vdots\\ 0\end{array}\right),$

откуда $ {\alpha}_1=0$ , $ {\alpha}_2=0,\ldots$ , $ {\alpha}_n=0$ . Итак, система векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$  -- линейно независима.

Пусть $ b$ -- произвольный вектор пространства, $ {b=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right).}$ Очевидно, что

$\displaystyle {\beta}_1e_1+{\beta}_2e_2+\ldots+{\beta}_ne_n=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)= b.$

Следовательно, вектор $ b$ является линейной комбинацией векторов $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ . Тем самым доказано, что векторы $ {e_1,\,e_2,\ldots,\,e_n}$ образуют базис в пространстве столбцов из $ n$ элементов. Размерность пространства равна числу векторов в базисе. Следовательно, пространство -- $ n$ -мерное.     

Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся вещественными числами, обозначается $ \mathbb{R}^n$ .

        Предложение 18.2   Пространство столбцов из $ n$ элементов, являющихся комплексными числами, имеет размерность $ n$ .     

Доказательство такое же, как и в предыдущем предложении. Это пространство обозначается $ \mathbb{C}^n$ .

        Пример 18.3   Пространство решений однородной системы линейных уравнений $ {Ax=0}$ имеет базис из $ {n-r}$ решений, где $ n$  -- число неизвестных, а $ r$  -- ранг матрицы $ A$ . Этим базисом служит фундаментальная система решений (см.  определение 15.5 и  теорему 15.3).         

     

       

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Подготовка пакетов расширений системы Mathematica

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Производная функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). Мощным средством расширения возможностей системы Mathematica является подготовка пакетов расширений. Пакеты расширений позволяют создавать новые процедуры и функции и хранить их на диске в виде файлов с расширением . m. После считывания такого пакета с диска все входящие в него определения функций становятся доступными для использования в соответствии с правилами, принятыми для встроенных функций. Текст пакета расширения не выводится после его вызова, чтобы не загромождать документ вспомогательными описаниями. В сущности, пакеты расширения — это просто наборы программ на языке программирования системы Mathematica, подобранные по определенной тематике Примеры решения задач Вычисление объемов тел. Интегральное исчисление. Элементарные преобразования Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра