Конспект лекций по математике Изменение координат вектора при изменении базиса примеры

Пример 18.4 Пусть ${L=\mathbb{R}^3}$ , то есть

-- трехмерное векторное пространство. Пусть задан ортонормированный базис i, j, k. Выберем другой (новый) базис

$\displaystyle {\bf e}_1={\bf i}+{\bf j}+2{\bf k},\quad {\bf e}_2=2{\bf i}-{\bf j},\quad {\bf e}_3=-{\bf i}+{\bf j}+{\bf k}.$

Возьмем вектор ${\bf x}=6{\bf i}-{\bf j}+3{\bf k}$ . Найдем его координаты в новом базисе.

Выпишем матрицу перехода, ее столбцы -- это координаты новых базисных векторов

$\displaystyle S=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right).$

Пусть ${\beta}=\left(\begin{array}{c}{\beta}_1\\ {\beta}_2\\ \vdots\\ {\beta}_n\end{array}\right)$ -- координатный столбец вектора ${\bf x}$ в новом базисе. Тогда

$\displaystyle \left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right)=S{\beta},$

(18.2)

откуда

$\displaystyle {\beta}=S^{-1}\left(\begin{array}{r}6\\ -1\\ 3\end{array}\right).$

Найдем матрицу $S^{-1}$ по формуле (14.14). Находим определитель

$\displaystyle \vert S\vert=\left\vert\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ 1&-1&1\\ 2&0&1\end{array}\right\vert=-1.$

Находим алгебраические дополнения

$\begin{displaymath}\begin{array}{l}S_{11}=-1,\quad S_{12}=1,\quad S_{13}=2,\quad... ...3}=4,\quad S_{31}=1,\quad S_{32}=-2,\quad S_{33}=-3.\end{array}\end{displaymath}$

Следовательно,

$\displaystyle S^{-1}=\frac1{-1}\left(\begin{array}{rrr}-1&-2&1\\ 1&3&-2\\ 2&4&-... ...\right)= \left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{array}\right).$

Находим координаты вектора

$\displaystyle {\beta}=\left(\begin{array}{rrr}1&2&-1\\ -1&-3&2\\ -2&-4&3\end{ar... ...\ -1\\ 3\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r}1\\ 3\\ 1\end{array}\right).$

Таким образом, новые координаты вектора ${\bf x}$ : ${{\beta}_1=1}$ , ${{\beta}_2=3}$ , ${{\beta}_3=1}$ , ${{\bf x}={\bf e}_1+3{\bf e}_2+{\bf e}_3}$ .

Тот же самый результат можно было получить, записав формулу (18.2) в виде системы уравнений

$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}6={\beta}_1+2{\beta}_2-{\beta}_3,\\ -1={\beta}_1-{\beta}_2+{\beta}_3,\\ 3=2{\beta}_1+{\beta}_3.\end{array}\right.$

Решив эту систему, например, методом Гаусса, найдем новые координаты ${\beta}_1$ , ${\beta}_2$ , ${\beta}_3$ .

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Подготовка пакетов расширений системы Mathematica

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Производная функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). Мощным средством расширения возможностей системы Mathematica является подготовка пакетов расширений. Пакеты расширений позволяют создавать новые процедуры и функции и хранить их на диске в виде файлов с расширением . m. После считывания такого пакета с диска все входящие в него определения функций становятся доступными для использования в соответствии с правилами, принятыми для встроенных функций. Текст пакета расширения не выводится после его вызова, чтобы не загромождать документ вспомогательными описаниями. В сущности, пакеты расширения — это просто наборы программ на языке программирования системы Mathematica, подобранные по определенной тематике Примеры решения задач Вычисление объемов тел. Интегральное исчисление. Элементарные преобразования Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра