дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Кривизна графика функции Приближённое нахождение корней уравнений

 

        Определение 8.1   Пусть кривая $ L$ задана как график функции $ y=f(x)$ и $ M_0(x_0;f(x_0))$ -- некоторая точка этой кривой. Будем предполагать, что функция $ f(x)$ дифференцируема в некоторой окрестности точки $ x_0$, так что при $ x$ из этой окрестности к графику $ y=f(x)$ можно проводить касательные, составляющие угол $ {\alpha}(x)$ с осью $ Ox$.
Кривизной кривой $ L$ в точке $ M_0$ (или при $ x=x_0$) называется число
$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{x\to x_0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\right\vert,$
где $ {\Delta}{\alpha}={\alpha}(x)-{\alpha}(x_0)$ -- угол поворота касательной при переходе точки касания из $ M_0(x_0;f(x_0))$ в $ M(x;f(x))$ и $ {\Delta}l$ -- длина части линии $ L$ между точками $ M_0$ и $ M$.     

Смысл предела, определяющего кривизну, -- это скорость поворота касательной в точке $ M_0$, в расчёте на единицу длины дуги.

Рис.8.1.Поворот касательной при переходе из точки $ M_0$ в точку $ M$

        Теорема 8.1   Пусть в точке $ x_0$ функция $ f(x)$ имеет вторую производную $ f''(x_0)$. Тогда кривизна линии $ L=\{y=f(x)\}$ при $ x=x_0$ равна
$\displaystyle k(x_0)=\dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

        Доказательство.     Пусть $ x=x_0+h$ -- точка, близкая к $ x_0$ (будем считать для наглядности, что $ h>0$). По геометрическому смыслу производной, $ \mathop{\rm tg}\nolimits {\alpha}(x)=f'(x)$, откуда $ {\alpha}(x)=\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x)$. При малых $ h$ дуга $ M_0M$ весьма близка к хорде $ M_0M$, и интуитивно ясно, что для гладкой кривой $ L$ предел отношения длины дуги $ {\Delta}l$ к длине хорды $ \vert M_0M\vert$ равен 1, то есть эти две бесконечно малых при $ h\to0$ величины эквивалентны. Хорда имеет длину $ \vert M_0M\vert=\sqrt{({\Delta}x)^2+({\Delta}y)^2}$, где $ {\Delta}x=h$ и $ {\Delta}y=f(x)-f(x_0)$ -- приращения координат при переходе от точки $ M_0$ к точке $ M$. Рассмотрим предел $ \lim\limits_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}.$ Имеем, очевидно,

$\displaystyle \dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\dfrac{\sqrt{h^2+(f(x_0+h)-f(x_0))^2}}{h}= \sqrt{1+\left(\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\right)^2},$

откуда

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{\vert M_0M\vert}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Поскольку $ {\Delta}l\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{h\to0}}\vert M_0M\vert$, то, заменив числитель на эквивалентную бесконечно малую, получаем, что

$\displaystyle \lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}l}{h}=\sqrt{1+(f'(x_0))^2}.$

Теперь преобразуем отношение $ \dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}$ к виду $ \dfrac{\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{h}}{\dfrac{{\Delta}l}{h}}$. Имеем тогда

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\lim_{h\to0}\dfrac{{\Delta}{\alpha}}{{\Delta}l}\... ...ght\vert= \left\vert\dfrac{{\alpha}'(x_0)}{\sqrt{1+(f'(x_0))^2}}\right\vert. $

Осталось вычислить производную, стоящую в числителе:

$\displaystyle {\alpha}'(x)=(\mathop{\rm arctg}\nolimits f'(x))'=\dfrac{f''(x)}{1+(f'(x))^2}.$

Это приводит нас к доказываемой формуле

$\displaystyle k(x_0)=\left\vert\dfrac{\dfrac{f''(x_0)}{1+(f'(x_0))^2}} {\sqrt{... ...))^2}}\right\vert= \dfrac{\vert f''(x_0)\vert}{(1+(f'(x_0))^2)^{\frac{3}{2}}}.$

    

        Пример 8.1   Найдём кривизну параболы $ y=x^2$ при произвольном значении $ x$. Поскольку $ y'=2x$ и $ y''=2$, имеем
$\displaystyle k(x)=\dfrac{2}{(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}}.$
Заметим, что кривизна параболы убывает при росте $ \vert x\vert$ и принимает максимальное значение 2 при $ x=0$, то есть в вершине параболы.

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Подготовка пакетов расширений системы Mathematica

Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике Производная функции Займемся непосредственно вычислением производных, для чего используем сводную таблицу формул дифференцирования. Вторая часть таблицы, в которой приведены производные основных элементарных функций, записана для сложных функций вида f(u), u=u(x). Мощным средством расширения возможностей системы Mathematica является подготовка пакетов расширений. Пакеты расширений позволяют создавать новые процедуры и функции и хранить их на диске в виде файлов с расширением . m. После считывания такого пакета с диска все входящие в него определения функций становятся доступными для использования в соответствии с правилами, принятыми для встроенных функций. Текст пакета расширения не выводится после его вызова, чтобы не загромождать документ вспомогательными описаниями. В сущности, пакеты расширения — это просто наборы программ на языке программирования системы Mathematica, подобранные по определенной тематике Примеры решения задач Вычисление объемов тел. Интегральное исчисление. Элементарные преобразования Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра