дипломы,курсовые,рефераты,контрольные,диссертации на заказ
Корпускулярные свойства света Пересечение плоскости с многогранником Исследование функции Пределы Производная График функции Векторная алгебра Линейные уравнения Матрицы Математический анализ Задачи на интеграл Интегральное исчисление Кратные интегралы Курсовые расчеты Инсталляции системы Запуск ОС Поддержка Plug and Play Интерфейс Панель управления Консоль управления Файловые системы FAT и FAT32 Информационные источники Сервер Web Работа в сетях Windows и Novell Интернет и почта Периферия и мультимедиа Работа с файлами Дополнительная конфигурация Конфигурирование X Windows Дистрибутив Служба удаленного доступа На главную Алгебраические уравнения

Конспект лекций по математике Отделение корней Приближённое нахождение корней уравнений

 

Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения $ f(x)=0$ заранее требуется знать какой-либо отрезок $ [a;b]$, на котором лежит искомый корень $ x^*$, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения $ f(x)=0$). В этом случае говорят, что корень $ x^*$ отделён на отрезке $ [a;b]$. Отделить корень -- значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближение $ x_0$ к корню $ x^*$ (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину $ x_0=\dfrac{a+b}{2}$, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.

        Теорема 9.1 (теорема 3.6 о корне непрерывной функции)   Если функция $ f(x)$ непрерывна на отрезке $ [a;b]$, причём значения её в концах отрезка $ f(a)$ и $ f(b)$ -- это числа разных знаков, то на отрезке $ [a;b]$ лежит по крайней мере один корень уравнения $ f(x)=0$.   
Аналитическая геометрия Системы координат Полярная система координат Уравнение кривой в полярной системе координат Цилиндрическая и сферическая системы координат

Практический смысл теоремы -- в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

        Пример 9.1   Рассмотрим уравнение $ x^3-4x+2=0$. Это уравнение третьей степени, поэтому у него не более трёх корней. Подсчитаем несколько значений функции $ f(x)=x^3-4x+2$, выбирая для простоты целые значения $ x$:
$\displaystyle f(-3)=-13; f(-2)=2; f(-1)=5;f(0)=2;f(1)=-1;f(2)=2.$
Функция $ f(x)$ непрерывна (любой многочлен непрерывен), и имеет разные знаки на концах отрезков $ [-3;-2]; [0;1]$ и $ [1;2]$; следовательно, по теореме о корне непрерывной функции, на каждом из этих трёх отрезков имеется не менее чем по одному корню. Однако корней не более трёх, так что на каждом отрезке -- ровно по одному корню. Тем самым нам удалось отделить все три корня $ x^*$, $ x^{**}$ и $ x^{***}$ уравнения (и при этом установить, что их действительно три, а не меньше):
$\displaystyle x^*\in[-3;-2]; x^{**}\in[0;1]; x^{***}\in[1;2].$
        Теорема 9.2   Если функция $ f(x)$ строго монотонна на отрезке $ [a;b]$, то есть возрастает или убывает на $ [a;b]$, то на этом отрезке уравнение $ f(x)=0$ не может иметь более одного корня.

Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение $ f(x)=0$ имеет один корень.     

Тем самым, если отрезок $ [a;b]$, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если $ f(a)$ и $ f(b)$ -- разного знака), -- это отрезок строгой монотонности функции, то на $ [a;b]$ отделён ровно один корень $ x^*$.

Заметим, что интервалы монотонности функции $ f(x)$ можно отыскивать, решая неравенства $ f'(x)>0$ (что соответствует возрастанию функции) и $ f'(x)<0$ (что соответствует убыванию).

    

Компьютерная математика Mathematica электронный учебник

Понятие о документах в форме notebooks

Как уже отмечалось, для выполнения простых арифметических операций достаточно набрать необходимое математическое выражение и нажать клавиши Shift и Enter одновременно (сама по себе клавиша Enter используется только для перевода строки внутри текущей строки ввода).

Нетрудно заметить, что вычисления в оболочке системы проходят так же, как при вычислениях на обычном калькуляторе. Однако прежде чем получить результат первого вычисления, даже столь простого, как вычисление 2 + 3, вам придется запастись терпением и дождаться, когда система загрузит свое ядро. Неопределенный интеграл. Табличное интегрирование Справочный материал и примеры к выполнению контрольной работы по математике

Отдельные ячейки с математическими выражениями и результатами их вычислений отмечаются в правой части главного окна редактирования характерными тонкими квадратными скобками синего цвета. Это наглядно показывает, к чему относятся математические выражения — к исходным данным или результатам. Кроме того, ячейки могут иметь различный статус, который отмечается соответствующими значками над квадратными скобками, — речь об этом более подробно пойдет ниже. Примеры решения задач Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений Интегральное исчисление. Метод Крамера (Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик) Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы.

 

Закон Вина ;Парабола – кривая второго порядка, прямая пересекает ее в двух точках драйверы режима ядра программное обеспечение необходимо для разработки и отладки драйверов Первый способ задания функции: табличный Степенная функция Обратные тригонометрические функции Определение непрерывности функции Оценки ошибок в формулах приближённого дифференцирования Производные функции, заданной параметрически Примеры исследования функций и построения графиков Приближённое нахождение корней уравнений и точек экстремума Тригонометрическая форма комплексного числа Изменить порядок интегрирования Вычислить двойной интеграл Вычисление тройных интегралов Сферические координаты Два основных метода интегрирования Замена переменных в двойном интеграле Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра